一道几何题的几种解法

2009-02-25 06:32黄金旺
教师·下 2009年1期
关键词:正三角形证法一题

黄金旺

几何题往往能一题多变,一题多解.同学们若能经常有目的地进行这类习题的训练,探寻解题思路与方法,掌握灵活多变的解题技巧,亲自感受到获得解题新思路和新方法的愉快感,将有利于自身开拓思维.开发智力,有助于培养自己的创新兴趣和创新能力,现举例分析如下:

题目:正方形ABCD内一点P,∠PAD =∠PDA=15°,连结PB、PC,请问:△PBC是等边三角形吗?为什么?

解法一:

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴AP=PD ∠PAB=∠PDC=75°

又∵AB=CD

∴△PAB≌△PDC(SAS)

∴BP=PC

在正方形内作∠EDC=∠ECD=15°,DE与CE交于E点,连结PE,显然∠DEC =150°

∴△APD≌△CED(ASA)

∴DP=DE

∠PDE=∠ADC-∠ADP-∠CDE

=90°-15°-15°=60°

所以,△EDP为正三角形,

∴PD=PE=ED

又∠PEC=360°-(∠PED+∠DEC)

=360°-(150°+60°)

=150°

∴∠PEC=∠DEC

∴△DEC≌△PEC(SAS)

∴PC=DC

从而,BP=PC=BC

即:△PBC为等边三角形.

解法二:

以AD为边向外作等边△AED.再连结EP.

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴AP=PD

在△EAP和△EDP中

△EAP≌△EDP(SSS)

∴∠1=∠2=60°

在△EAP和△BAP中

EA=AB∠EAP=∠BAPAP=AP=75°

∴△EAP≌△BAP(SAS)

∴∠3=∠1=30°

同理可知:∠PCD=30°

∴∠PBC=∠PCB=60°

即:∠BPC=60°

∴△PBC是等边三角形.

解法三:(反证法)

假设△PBC不是正三角形,由已知条件推得PB=PC

即假设PB=PC≠BC

不妨设PB>BC,则在△ABP中,∠BAP>∠APB

即:∠APB<75°,而∠DPC=∠APB

所以∠DPC<75°

又∠APD=180°-∠PAD-∠ADP

=150°

所以∠BPC=360 °-(∠APD+∠APB +∠DPC)>60°

同时在△BPC中,由PB=PC>BC

∴∠PBC=∠PCB>∠BPC,得∠BPC <60°

这与∠BPC>60°矛盾,故PB>BC不能成立

同理PB<BC也不能成立

故PB=BC,即△PBC为正三角形.

解法四:(同一法)

以BC为边作正△BEC,连结BE、CE、AE、DE,

则BE=CE=BC ∠EBC=∠ECB=60°

又∵BC=AB

∴AB=BE

∴∠ABE=90°-∠EBC=90°-60°=30°

∴∠BAE=∠BEA=75°

∴∠EAD=15°

同理可证:∠EDA=15°

因此,EA与PA重合,ED与PD重合

从而,△PBC为正三角形.

除了上述证法外,本题还有其他证法,教师可鼓励学生开拓思维,集思广益考虑出更多的论证方法.

猜你喜欢
正三角形证法一题
不可或缺的正三角形
一题多解
一道数列不等式题的多种证法
R.Steriner定理的三角证法
关于Milosevic不等式的再研讨
一题多解在于活