反比例函数面面观

康　松

康松，山东省淄博市博山区教研室数学教研员，淄博市教学能手，两次获山东省中小学教育科研优秀成果一等奖，省级以上刊物发表论文30余篇．出版有《同步训练》等书籍．

近年中考关于反比例函数的题型多样，考查方式灵活，既注意对知识的把握，又注意能力的提升．下面结合2008年中考题对反比例函数相关知识点进行归类解析．

一、反比例函数的概念、图象与性质

1. 反比例函数的系数和解析式

例1 （2008年南安市）已知反比例函数的图象过点（－3，1），则此函数的解析式为_____．

分析： 确定反比例函数的解析式，可用待定系数法.因为只有一个待定系数，故只需一个点的坐标或一个合适条件即可．

解：设反比例函数的解析式为y= （k≠0），将点（－3，1）的坐标代入，解得k＝-3．此函数的解析式为y=- ．

练习1 （2008年南昌市）下列四个点中，在反比例函数y= 图象上的是（）.

A． （1，-6） B． （2，4） C． （3，-2） D． （-6，-1）

2. 反比例函数的图象

例2 （2008年江西省）若点（x0，y0）在函数y＝ （x>0）的图象上，且x0y0＝－2，则它的大致图象是（）.

分析： 反比例函数y= 的图象是双曲线．当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限；当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限．

解：由题意可知k＝xy＝x0y0＝－2．因为k＜0，所以双曲线的两个分支分别在第二、四象限．又因为x>0，所以图象在第四象限．选择D．

练习2 （2008年南宁市）图1是反比例函数y= 的图象，那么实数m的取值范围是_____．

3. 反比例函数的单调性

例3 （2008年淄博市）已知点（-2，y1），（-1，y2），（3，y3），和（-3，-2）都在反比例函数y= 的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）.

A． y1＜y2＜y3B． y3＜y2＜y1C． y2＜y1＜y3D． y3＜y1＜y2

分析： 运用函数单调性时，应注意条件“在每一象限内”．反比例函数y= 的图象，当k＞0时，两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大（减小）而减小（增大）；当k＜0时，两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大（减小）而增大（减小）．

解：由（-3，-2）在反比例函数y= 的图象上，可得k＝（－3）×（－2）＝6.由k＞0，可知双曲线的两个分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y的值随着x值的增大而减小．因为－2＜－1＜0＜3，所以y2＜y1＜0＜y3．答案是C．

本题也可求出y1，y2，y3的值再比较大小．

练习3 （2008年白银市）一个函数具有下列性质：

① 图象经过点（－1，1）；② 图象在二、四象限内；③ 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为_____．

4. 反比例函数系数的几何意义

例4 （2008年深圳市）如图2，直线OA与反比例函数y= （k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝_____．

分析： 过双曲线y= （k≠0）上任一点（x0，y0），分别引x轴、y轴的垂线，所得两垂线与坐标轴围成的矩形面积为｜k｜，即｜k｜=｜x0｜•｜y0｜.△OAB的面积为此矩形面积的一半．

解：S△AOB = OB•AB= ｜xA•yA｜= ｜k｜=2.解得k=4．

练习4 （2008年兰州市）如图3，已知双曲线y= （x>0）经过矩形OABC的边AB，BC的中点F，E，且四边形OEBF的面积为2，则k=_____．

二、反比例函数与一次函数综合问题

例5 （2008年兰州市）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象与反比例函数y= （k为常数，k≠5）的图象有一个交点的横坐标是2，求这两个函数图象的交点坐标．

分析： 解此类题常用的方法，是将函数图象的公共点坐标代入所设的函数解析式，构造方程或方程组，进而解决其他问题．

解：对于方程组y=kx，y= ，当x=2时，可得2k= ，解得k=1．所以正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y= ．解方程组y=x，y= ，可得x1=2，y1=2，x2=-2，y2=-2.所以两函数图象交点的坐标为（2，2），（-2，-2）．

练习5 （2008年郴州市）已知一次函数y=ax＋b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（2，2），B（－1，m），求一次函数的解析式．

三、反比例函数的应用

例6 （2008年巴中市）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图4）．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg．据以上信息解答下列问题：

（1） 求药物燃烧时y与x的函数关系式.

（2） 求药物燃烧后y与x的函数关系式.

（3） 当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？

分析： （1） 函数关系已经确定，只要找到其图象上一个点的坐标，即可求出解析式.显然点（10，8）在正比例函数图象上.设y=kx，可求得k= .所以，一次函数解析式是y= x（0≤x≤10）.

（2） 点（10，8）也在反比例函数的图象上，解析式为y= （x≥10）.

（3） 实际是求当x=1.6时y的值，易得此时y=50 （min）.

解：略.

注意：实际应用问题的函数图象往往是我们学习的函数图象的一部分.因此在写出解析式时一定要注明其取值范围.比如本题，不注明取值范围的解析式是错误的.

练习6 （2008年贵阳市）利用图象解一元二次方程x2 +x-3=0时，我们采用的一种方法是：在坐标系中分别画出抛物线y=x2和直线y=-x+3的图象，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1） 利用图象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=_____和直线y=-x，其交点的横坐标就是该方程的解．

（2） 已知函数y=- 的图象（如图5），利用图象求方程 -x+3=0的近似解.（结果保留两个有效数字）．

练习参考答案：1. D 2. m>2 3. 例如y=-4. 2 5. y=2x-2.

6. （1） x2-3 （2） 近似解为x1≈-1.4，x2≈4.4．

责任编辑/冯 琦

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。