方程组“现形记”

孟　坤

有些求值或确定字母系数的题，看似与方程组无关，但仔细观察其特征后，就会发现通过构造方程组来解会更加简单、方便.现分类举例如下.

一、利用同类项的定义构造方程组

例1 如果单项式-3x2a-by2与x3a+by5a+8b的和仍是单项式，那么这个和为（）.

A． -x5y2B． -x10y4C． -x10y2D． -x5y2

分析：两个单项式的和仍是一个单项式，说明这两个单项式是同类项.根据同类项的定义，可知相同字母的指数分别相等，由此列出关于字母a、b 的二元一次方程组.

解：由同类项定义，得2a-b=3a+b，5a+8b=2.解得a=2，b=-1.所以这两个单项式分别为-3x5y2和x5y2.由于-3x5y2+x5y2=-x5y2，故选D.

二、利用非负数的性质构造方程组

例2 已知 |a+b-5|+（2a-b-1）2=0，则（a-b）2 008的值为____.

分析：任意一个实数的绝对值和平方都是非负数.当几个非负数的和为0时，则每一个非负数都为0.由此得到关于字母a、b的二元一次方程组.

解：由非负数的性质得a+b-5=0，2a-b-1=0.解得a=2，b=3.

所以（a-b）2 008=（2-3）=（-1）2 008=1.

三、利用函数关系式构造方程组

例3 在函数y=ax2+bx+1中，当x=1时，y=4；当x=-1时，y=2.则当x=时，y的值为（）.

A． B． C． 2D． 1

分析：把a、b当做未知数，将x=1，y=4及x=-1，y=2分别代入关系式，即可得到一个关于字母a、b的二元一次方程组，进而可求出关系式.

解：由题意，得a+b+1=4，a-b+1=2.解得a=2，b=1.所以函数关系式为y=2x2+x+1.

当x=时，y=2x2+x+1=2×2++1=2.故选C.

四、利用方程的定义构造方程组

例4 已知2xa+b-3+3ya-2b=-1是关于x、y的二元一次方程，则a+3b的值为.

分析：由二元一次方程的定义可知，x、y的次数应均为1，于是可以得到一个关于a、b的二元一次方程组.解这个方程组，求出a、b的值即可.

解：根据二元一次方程的定义，得a+b-3=1，a-2b=1.解得a=3，b=1.

所以a+3b=3+3=6.

五、利用方程解的定义构造方程组

例5 已知x=1，y=1和x=-1，y=-2是关于x、y的二元一次方程2ax-by=2的两个解，则4a-3b的值为____.

分析： 二元一次方程的解是指适合二元一次方程的一组未知数的值，所以可把x=1，y=1和x=-1，y=-2分别代入方程2ax-by=2中，即可得到关于a、b的方程组.

解：将方程的解代入方程，得2a-b=2，-2a+2b=2.解得a=3，b=4.

所以4a-3b=4×3-3×4=0.

六、利用方程组解的定义构造方程组

例6 关于x、y的方程组ax+by=4，bx+ay=5的解是x=2，y=1，则=.

分析：当含有字母系数的方程组的解直接给出时，可先把给出的解代入原方程组，得到关于字母系数的新方程组，然后解这个新方程组即可.

解：由方程组解的定义，得2a+b=4，2b+a=5.解得a=1，b=2.所以==-3.

七、利用方程组解的关系构造方程组

例7 若关于x、y的方程组2x+3y=4，3x-2y=2m-3的解满足x+2y=1，求m的值.

分析：当方程组的解满足一个确定的关系式时，可把方程组中不含字母系数的方程与这个关系式组成新的方程组，求出未知数的值后，再代入含有字母系数的方程，从而求出待定字母的值.也可以将解所满足的关系式视为一个方程，与原来的方程组联立，得到一个三元一次方程组，利用代入消元法等去解.这是最一般的解法.

解：由题意，得2x+3y=4，x+2y=1. 解得x=5，y=-2.把x=5，y=-2代入方程3x-2y=2m-3中，得3×5-2×（-2）=2m-3，解得m=11.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。