特别的方程组 特别的解法

林秀玲

解二元一次方程组的基本思想是消元,主要方法是代入消元法和加减消元法.但对一些特殊的方程组,如果采用一些特殊的解法,会使解答过程变得简洁明快.

一､引入参数法

例1 解方程组2x+3y=98,①9x=11y. ②

思路点拨:方程组中的②可变形为= ,由于是比例的形式,故可引入参数k.设 ==k,则x=11k,y=9k,再将它们代入①,求解较为简便.

解:由②可变形为=,设 ==k,则x=11k,y=9k.将它们代入①,得22k+27k=98,解得k=2.所以x=22,y=18.所以原方程组的解为x=22,y=18.

二､整体代换法

例2 解方程组2(x-3)=16-3(y+2),①4(x-3)=7(y-1)+1. ②

思路点拨:方程组中的两个方程都含有2(x-3),因此可以将2(x-3)视为一个整体,把①直接代入②中,解法较为简便.

解:将2(x-3)视为一个整体,把①代入②,得2[16-3(y+2)]=7(y-1)+1.

解得y=2.将y=2代入②,得x=5.所以原方程组的解为x=5,y=2.

三､简化系数法

例3 解方程组13x+21y=5, ①31x+23y=39.②

思路点拨:方程组中两个方程的相同未知数的系数之和及常数项之和恰好相同,于是可将两个方程相加,化简系数后再用代入消元法求解.

解: ①+②,得44x+44y=44,即 x+y=1,所以x=1-y.代入①,得13(1-y)+21y=5.解得y=-1.将y=-1代入x+y=1,得x=2.所以原方程组的解为x=2,y=-1.

四､消常数项法

例4 解方程组17x+7y=38, ①7x+23y=76. ②

思路点拨:方程组中两个方程的常数项恰好成倍数关系,不妨先消去常数项,再综合使用加减消元法和代入消元法求解.

解:①×2-②,得27x-9y=0,所以y=3x.代入①,得17x+21x=38,所以x=1.把x=1代入y=3x,得y=3.所以原方程组的解为x=1,y=3.

五､加减重组法

例5 解方程组175x+168y=301,①168x+175y=42.②

思路点拨:方程组中两个方程的未知数的系数恰好“对称”,将两个方程分别相加､相减后,未知数的系数相同或系数的绝对值相同,于是容易将系数化为1,求解比较简便.

解:①+②并化简,得x+y=1.③

①-②并化简,得x-y=37. ④

解由③､④组成的新方程组x+y=1,x-y=37,得x=19,y=-18,即为所求.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。