一个最小值问题的论证

刘步松

对于函数f(x)=α1|x-β1|+α2|x-β2|+…+αn|x-βn|，其中αi>0(i=1,2,…，n),βi∈R(i=1,2,…，n)，且β1<β2<…<βn，问：当x为何值时f(x)有最小值?本文将证明如下结论：

设α1+α2+…+αn=s,若α1≥s2，则当x=β1时f(x)取得最小值，若α1+α2+…+αr-1

例如求y=6|x-2|+3|x-7|+2|x-9|的最小值，因为6+3+2=11，而6>112,从而当x=2时y取得最小值29.再如，求y=2|x+1|+3|x-1|+5|x-8|+2|x-9|的最小值.由于2

+3+5+2=12,2+3<122,而2+3+5>122,所以，当x=8时y取得最小值41.

从上面的例子可以看出，用给出的结论来判断此类函数当x为何值时有最小值是非常方便的.下面证明本文给出的结论.

1、当α1≥s2时，f(β1)=α1|β1-β1|+α2·|β1-β2|+…+αn|β1-βn|=α1(β1-β1)+α2(β2-β1)+…+αn(βn-β1).

(1)设β<β1，f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β1-β)+α2(β2-β)+…+αn(βn-β).

f(β)-f(β1)=α1(β1-β)+α2(β1-β)+…+αn(β1-β)=(α1+α2+…+αn)(β1-β)>0,即f(β)>f(β1).

(2)设β>β1,不妨设β1<β<β2，在其它位置时同理可证.

f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β-β1)+α2(β2-β)+…+αn(βn-β).

f(β)-f(β1)=α1(β-β1)+α2(β1-β)+…+αn(β1-β)=(α1-α2-…-αn)(β-β1)>0.

因为α1≥s2，所以α1-α2-…-αn≥0，又β-β1>0,所以f(β)-f(β1)≥0，即f(β)≥f(β1).从而当x=β1时f(x)取得

最小值.

2、α1+α2+…+αr-1

(1)设β<βr,不妨设βr-1<β<βr，其它位置时同理可证：

f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β-β1)+α2(β-β2)+…+αr-1(β-βr-1)+αr(βr-β)+…+αn(βn-β).

f(β)-f(βr)=α1(β-βr)+α2(β-βr)+…+αr-1(β-βr)+a-r(β-r-β)+…+an(βr-β)=(α1+α2+…+ar-1-ar-…-αn)(β-βr)，因为α1+α2+…+αr-10，即f(β)>f(βr).

(2)设β>βr,不妨设βr<β<βr+1，其它位置时同理可证.

f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β-β1)+α2(β-β2)+…+αr·(β-βr)+αr+1(β-r+1-β)+…+a-n(βn-β),

f(β)-f(βr)=α1(β-βr)+α2(β-βr)+…+αr(β-βr)+a-r+1(β-r-β)+…+an(βr-β)=(α1+α2+…+ar-ar+1-…-αn)(β-βr)，因为α1+α2+…+αr≥s2，所以α1+α2+…+αr-αr+1-…-αn≥0，又β-βr>0,所以f(β)-f(βr)≥0，即f(β)≥f(βr)，当x=βr时，f(x)取得最小值，证毕.

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