也谈离心率相等的圆锥曲线都相似

李建潮　沈水荣

文［1］在直角坐标系下分别证明了离心率相等的椭圆、双曲线是相似图形及任意两条抛物线是相似图形(也为文［2］).出于圆锥曲线统一定义(平面内与一个定点F的距离和到一条定

直线l的距离的比等于正常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线)的考虑，本文拟通过极坐标系下圆

锥曲线统一的极坐标方程统一处理“离心率相等的圆锥曲线都相似”，并建立与之相关的一

个新性质.

不失一般性，不妨设离心率都等于e的两个圆锥曲线C1、C2的极坐标方程分别为

ρ=ep11-ecosθ (1)，ρ=ep21-ecosθ (2)

其中pi(i=1,2)分别为焦点F(即极点)到相应准线的距离.

由方程(1)、(2)易见，过焦点F与曲线C1相交的任意射线FK与曲线C2必相交.于是可设射线FK与曲线C1、C2分别相交于点A(ρA、θ)、B(ρB、θ)，即ρA=ep11-ecosθ,ρB=ep21-ecosθ,且|FA|=|ρA|,|FB|=|ρB|，于是|FA||FB|=|ρA||ρB|=p1p2.

由文［3］关于两个图形位似的定义，立知圆锥曲线C1与C2位似，且焦点F是它们的位似中心.据此，我们获得：

定理1 离心率相等的圆锥曲线是相似图形.

由以上定理一的极坐标证明我们已经意识到：有关圆锥曲线统一性质的获取和证明极坐标法较直角坐标法要明快得多.在对圆锥曲线的公共属性的认识上极坐标法较直角坐标法要深刻得多、思维形成上要自然得多.从美学角度讲，极坐标法更能显耀出圆锥曲线统一的极坐标方程的形式美与和谐美.以下性质的确立就是一面镜子.

定理2 设圆锥曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=ep11-ecosθ、ρ=ep21-ecosθ(其中e>0,p1>0,p2>0,且p1≠p2).过公共焦点F(即极点)的动射线FK分别交曲线C1、C2于点A、B，点M在直线AB上，满足AM