构造平面解析几何模型解题

宋　波

构造数学模型解题，是数学中解决问题的一种重要途径，其主要思想是把问题“模型化”、“实物化”.通过模型的构建，能将一个数学问题从一种抽象关系转化成一种具体关系，因而便于整体性与创造性的处理.而平面内两点间的距离、直线的斜率、纵截距、点到直线的距离，圆锥曲线及其性质等内容是平面解析几何的基础知识，有其特殊的几何意义，同时也容易求解，是“数形”转换的有效途径.中学数学中有许多问题，用常规方法较难解决，但通过构造相关的平面解析几何模型，凸现问题的内在联系，揭示问题的本质，使问题变得简单明了，易于解决.下面笔者就有关问题进行分类导析，旨在探索题型规律，揭示解题方法，起到抛砖引玉的作用.

一、求集合运算关系中参数的取值范围问题

例1 设集合M={(x,y)|y=16-x2},N={(x,y)|y=x+a},若M∩N=I，求实数a的取值范围.

解析 集合M表示圆x2+y2=16在x轴上方的部分，集合N表示平行直线系y=x+a，若M∩N=I，即半圆与直线没有公共

点，则构造如图1的模型求解.当直线与半圆相切时，由切线性质可求得，a=42，当直线过A(4,0)时，a=-4，所以a的取值范围 是(-∞,-4)∪(42,+∞).

点评 将两集合之间的运算关系转化为两曲线之间的关系，借助图形求解，既简单又直观.

二、求无理函数的值域(最值)

例2 求函数f(x)=1-x2+2x-3的最大值和最小值.

解析 易知函数的定义域为［-1，1］，设

u=x,v=1-x2,则u2+v2=1(0≤v≤1)，

函数变为f(x)=v-(-2)u-3,从而函数的最值转化成了圆心为O(0，0)、半径为1的上半圆上的动点P(u,v)与定点Q(3,-2)连线的斜率最值，则构造如图2的模型求解.由平面解析几何知识可知，A(-1,0),k〢Q=-2-03-(-1)=-12,设切线BQ的方程为y+2=k(x-3)，即kx-y-3k-2=0，而圆心O(0，0)到半圆的切线BQ的距离为1，即|3k+2|k2+1=1，解得k=-3+34,k=3-34(舍去).

根据图2可知，k〣Q≤k㏄Q≤k〢Q,

所以f┆玬ax(x)=k〢Q=-12,

f┆玬in(x)=k〣Q=-3+34.

点评 对于形如f(x)=

ax2+bx+c-nx-m的函数最值(值域)，通过构造平面解析几何模型，可转化为二次曲线(圆或圆锥曲线上的部分曲线)上的任一点与定点(m,n)连线的斜率最值，借助平面解析几何知识求出边界直线的斜率，使问题得以解决.

例3 (2001年全国高中数学联赛试题)求函数y=x+x2-3x+2的值域.

解析 易知函数的定义域为{x|x≤1，或x≥2}，设u=x，v=x2-3x+2=(x-32)2-14,则(u-32)2-v2=14(v≥0)，函数变为y=u+v,从而函数的值域转化成了过位于横轴上方的双曲线上任一点P(u,v)的平行直线l:v=-u+y的纵截距的取值范围，则构造如图3的模型求解.直线l有三个边界位置：过点(1，0)的l1、过点(32，0)的l2、过点(2，0)的l3，由平面解析几何知识可知，直线l1的纵截距为1、l2的纵截距为32、l3的纵 截距为2，故所求函数的值域为［1,32)∪［2,+∞).

点评 对于形如f(x)=kx+m±ax2+bx+c或f(x)=ax+b±cx+d的函数值域(最值)，通过构造平面解析几何模型，可转化为过二次曲线(圆或圆锥曲线上的部分曲线)上任一点的平行直线的纵截距最值，借助平面解析几何知识求出边界直线的纵截距，使问题得以解决.

三、求三角函数的值域(最值)

例4 求函数y=玞osθ2玞osθ+1的值域.

解析 令u=玞osθ(-1≤u≤1，且u≠-12)，则原函数可变为y=12v,且v=uu+12，从而函数的值域转化成了过线段v=u(-1≤u≤1,且u≠-12)上任一点P(u,u)与定点C(-12，0)连线斜率的取值范围问题，则构造如图4的模型求解.由平面解析几何知识可知，v≥k〢C=2,v≤k〣C=23,所以y≤13或y≥1.

例5 求函数f(x)=1+玸in玿3+玞os玿的最值.

解析 函数的最值转化为过单位圆u2+v2=1上任一点P(-玞os玿,-玸in玿)与定点C(3，1)连线斜率的最值，则构造如图5的模型求解.由切线性质可求得k〢C=0,k〣C=34，根据图5可知，k〢C≤k㏄C≤k〣C，所以f┆玬ax(x)=k〣C=34,f┆玬in(x)=k〢C=0.

点评 对于形如f(x)=a玸in玿+bc玸in玿+d或ゝ(x)=猘玸in玿+bc玞os玿+d或f(x)=a玸in玿+b玞os玿+c的三角函数值域(最值)，通过构造平面解析几何模型，可转化为过线段或圆上任一点的动直线在边界位置时的斜率或纵截距最值，借助平面解析几何知识，使问题得以轻松解决.

四、求约束条件下二元代数式的取值范围问题

例6 若a,b∈R,a2+b2=0，则a+b的范围是().

(A)［-25,25］

(B)［-210,210］

(C)［-10,10］

(D)［0,10］

解析 令a+b=t，则问题变为过圆a2+b2=10上任一点的平行直线系b=-a+t的纵截距的范围问题，可构造如图6的模型求解.由切线性质可求得-25≤t≤25，故选A.

例7 已知f(x)=ax2-c，且-4≤f(1)≤1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.

解析 本题的实质是：已知实数a,c满足不等式组-4≤a-c≤-1,

-1≤4a-c≤5.求9a-c的最值，此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解.又目标函数为f(3)=9a-c，即c=9a-f(3)，作出可行域，如图7所示.由图7可知，目标函数c=9 a-ゝ(3)分别在A、C处取得最小值和最大值.由

4a-c=-1,

a-c=-1得

A(0，1)，由a-c=-4,

4a-c=5得C(3，7)，所以ゝ(3)┆玬in=9×0-1=-1,f(3)┆玬ax=9×3-7=20，故-1≤f(3)≤20.

点评 此类问题既可以用代数方法解，也可以用平面解析几何知识去解，但用平面解析几何模型求解具有直观、简捷的优点.

五、解决三角函数中的求值问题

例8 已知玸in獳+玸in(A+B)+玞os(A+B)=3,B∈［π4,π］，求B的值.

解析 由已知可得(玸in獴+玞os獴)玞os獳+(1+玞os獴-玸in獴)玸in獳-3=0,构造直线(玸in獴+玞os獴)x+(1+玞os獴-玸in獴)y-3=0和圆x2+y2=1，显然点(玞os獳,玸in獳)既在直线上又在圆上，所以圆心(0，0)到直线的距离小于等于半径，即|0-0-3|(玸in獴+玞os獴)2+(1+玞os獴-玸in獴)2≤1，得玞os獴≥玸in獴,又B∈［π4,π］，所以玞os獴≤玸in獴,得玞os獴=玸in獴，故B=π4.

点评 对各量关系不明确的问题，创造性地构造与之相关的平面解析几何模型，凸现各元素之间的内在联系，揭示问题的实质，使问题变得简单明了.

六、求含参方程的有解问题

例9 已知|x|=ax+1有一个负根，而且无正根，那么a的取值范围是().

(A)a>1 (B)a=1

(C)a≥1 (D)非上述答案

解析 分别作出折线y=|x|和直线l:y=ax+1的图象，当a=1时，得l1与y=x平行且与y=|x|交点在第二象限，如图8所示，直线l绕定点P(0，1)转动且夹在l1与y轴之 间时满足题意，此时a≥1，故选C.

例10 (1989年全国高考题)当k在什么范围取值时，方程玪og璦(x-ka)=玪og゛2(x2-a2)有解.

解析 原方程等价变形为：x-ka=x2-a2(a>0且a≠1)，分别作出平行直线系y=x-ka(y>0)与双曲线y=x2-a2(y>0)的图形，如图9所示，直线与双曲线要有交点，应满足：-ka>a或-a<-ka<0，即k<-1或0

点评 含参方程的有解问题是一类比较复杂的问题.用代数方法，一方面所涉及的情形较为多样，另一方面，过程和运算又可能很烦琐，需分类讨论.构造相应的平面解析几何模型，可能会直观明了，大大减少运算步骤和解题量.

七、证明不等式

例11 求证：

x2-2x+5-x2-4x+5≤2.

解析 因x2-2x+5=

(x-1)2+(0-2)2可看作点P(x,0)与点A(1，2)的距离，x2-4x+5=(x-2)2+(0-1)2可看作点P(x,0)与点B(2，1)的距离，于是对此问题的证明转化为求证x轴上的动点P(x,0)与两定点A(1，2)、B(2，1)距离差的绝对值小于等于2，则构造如图10的模型求解.利用三角形两边之差小于第三边知，﹟|PA|-|PB||≤|AB|=2，当P、A、B三点共线，直线AB与x轴的交点坐标为P(3，0)，即x=3时，上式取等号，所以x2-2x+5-x2-4x+5≤2.

点评 对于涉及x2+px+q±

x2+mx+n或x4+px2+qx+r±

x4+mx2+nx+k形式的不等式证明问题，通过构造平面解析几何模型，可转化为动点(x轴或抛物线上)与两定点距离和(差)的最值，利用三角形三边关系定理证得.

例12 设x,y,z为实数，且0

解析 只需证玸in玿玞os玿+玸in珁玞os珁+玸in珃玞os珃<π4+玸in玿玞os珁+玸in珁玞os珃，则构造平面解析几何模型求证，如图11所示，A(玞os玿,玸in玿),B(玞os珁,玸in珁),C(玞os珃,玸in珃)为单位圆x2+y2=1上三点，设图中三个矩形面积分别为S1，S2，S3，则玸in玿(玞os玿-玞os珁)+玸in珁(玞os珁-玞os珃)+玸in珃玞os珃=S1+S2+S3<π4，所以原不等式成立.

点评 如能充分挖掘三角问题中所具有的图形特征，正确有效地构造平面解析几何模型，明确反映各量之间的关系，就能准确快速地作出解答.

八、解含参不等式

例13 解关于x的不等式x2+4≤2+ax(a>0).

解析 因为y=x2+4表示双曲线y2-x2=4的上半支，y=ax+2表示过定点(0，2)、斜率为a的直线系，则构造如图12的模型求解.当0

例14 关于x的不等式x

解析 y1=x表示抛物线y2=x在x轴上方的部分，y2=ax+32表示过定点(0，32)、斜率为a的直线系.

依题意知，当4y2，则构造如图13的模型可知，当x=4和x=b时，y1=y2，即4=4a+32和b=ab+32，解得a=18,b=36.

点评 解含参不等式，用构造平面解析几何模型的方法要比纯代数的方法直观和简练，值得提倡.

九、解三角不等式(组)

例15 解不等式组：12<2玞osθ+玸inθ<1(θ∈R).

解析 考虑到(2玞osθ)24+玸in2θ=1,故可构造椭圆模型来解.

设x=2玞osθ,y=玸inθ，则原不等式化为x24+y2=1,

12

1+21910

2+195

1-21910

即2-195<玞osθ<0

1+21910<玸inθ<1或

2+1910<玞osθ<45，

1-21910<玸inθ<-35.最后利用正弦线和余弦线可知原不等式的解集为：

(2kπ+π2,2kπ+π-玜rcsin1+21910)∪

(2kπ+玜rcsin1-21910,2kπ-玜rccos45)(k∈Z).

点评 本题虽可以直接运用辅助角公式化为一个角的三角函数方法去解决，但构造椭圆模型的方法也有其优点：直观.

十、求解含参不等式恒成立问题

例16 对于满足等式x2+(y-1)2=1的一切实数x,y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是().

(A)(-∞，0］ (B)［2,+∞)

(C)［2-1,+∞)(D)［1-2,+∞)

解析 由题意知：c≥-(x+y)恒成立，令

t=-x-y，由最值原理得：c≥t ┆玬ax,则原问题变为过圆x2+(y-1)2=1上任一点的平行直线系y=-x-t的纵截距的 最值问题，构造如图15的模型求解.由切线性质可求得，t┆玬ax=2- 1，c≥2-1,故选C.

例17 设f(x)=x2-2ax+2，当x∈［-1,+∞)时，不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解析 依题意，原不等式可转化为x2+2≥2a(x+12)对x≥-1恒成立，则原问题变为：当x≥-1时，抛物线y=x2+2的图像不低于过定点P(-12，0)的直线系y=2a(x+12)的图像问题，如图16所示，此时有两个边界位置：与过点A(-1,3)的直线PA，抛物线的切线PB，由解析几何的知识可得k㏄A=-6,k㏄B=2，于是有-6≤2a≤2,所以-3≤a≤1.

点评 含参不等式恒成立问题是中学数学中的一类常见问题，因与最值有关，有时可以构造平面解析几何模型来解决.

综上，构造出合理的平面解析几何模型解题，是“数形”转换的有效途径.一旦运用成功， 它呈现的是问题的本质规律和数学的内在美.具有直观、简洁的特点，优化了解题过程，给 人耳目一新的感觉.对于培养思维的敏捷性和创造性，具有重要的意义.

参考文献

［1］徐国平.例谈椭圆模型的运用.数学教学通讯，2007，6.

［2］宋波.巧构平面解析几何模型求无理函数的最值.数学通讯，2007，8.

［3］詹才春.中学构图解题的几类模型.中学数学，2006，6.

［4］芦志新.约束条件下的运动直线问题，数学通报，2006，5.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”