使用判别式求值域的错解分析

吴文慧

对于实系数一元二次方程ax²+bx+c=0，我们将△=b2-4ac称为它的判别式.解数学题时，我们经常会使用到△.判别式法的实质是将函数值域问题转化为方程在实数集上有解的条件，若自变量的取值范围是某个特定区间，则应转化为在此区间上有解的条件，此时△≥0仅为必要条件，而不是充分条件，但在解题中，有时因对它的适用范围不清楚，从而导致错误.本文就一些常见错误加以分析，旨在更好的掌握判别式求值域的方法.

例1 求函数y=x²-x+1x²+x+1(0≤x≤1)的值域.

错解：将上式变形为(y-1)x²+(y+1)x+y-1=0 (1)，∵x为实数，∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0 (2)，解之得13≤y≤3.

分析：由于将0≤x≤1扩大为全体实数，因此的y范围也可能扩大.

正确解法：除去(2)之外，对(1)，由韦达定理，二根α，β满足α•β=y-1y-1=1,∵α,β互为倒数，设其中一根满足0≤α≤1,∴α+β=y+11-y≥2，解之得13≤y<1.注意对于(1)，当y=1时，x=0显然满足要求，综合上述可知13≤y≤1.

例2 求y=玸in玿+玞os玿玸in玿玞os玿,x∈(5π12,π2)的值域.

错解：令t=玸in玿+玞os玿,由玸in玿玞os玿=(玸in玿+玞os玿)2-12=t2-12,因此原函数值域即为y=2tt2-1的值域.

将上式变形为yt2-2t-y=0,∵t≠0，故y≠0，方程可化为t2-2yt-1=0.此时△=(2y)2+4>0,∴y∈R且y≠0.

分析：忽视了x∈(5π12,π2)的条件限制，从而忽视了t的取值范围，此时运用判别式法，导致错误.

正确解法：令t=玸in玿+玞os玿=2玸in(x+π4),∵5π12

∵t≠0，故y≠0，方程可化为t2-2yt-1=0,设t1,t2为方程的两根，则t1t2=-1<0,(t1,t2异号)，故方程在(1，62)上最多仅有一根，令f(t)=t2-2yt-1,由二次函数图像知方程在(1，62)上有一解的充要条件是：f(1)<0,

f(62)>0,即-2y<0,

12-6y>0,解之得y>26，即为所求函数的值域.

通过以上两例常见错误的剖析可知，在运用判别式法求函数值域时，要注意是否有扩大值域范围的情况，并掌握如何检查出扩大的部分，或者选用其它方法求解.