例谈一次函数问题的多解性

皇甫军

在近年来的各地中考中，考查一次函数知识的题目的类型也悄然发生着变化.而一次函数的多解问题，由于综合性强，有利于考查学生思维的周密性和灵活性，备受命题者青睐.现举例说明，供同学们学习时参考.

例1已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，5），且与y轴交点的坐标为（0，6）.

（1）求函数的解析式.

（2）设函数图象与x轴交于点M，试在图象上求一点N，使S△MON=9.

分析：由已知条件，利用待定系数法易求出此函数的解析式.而在此一次函数的图象上求一点N，使S △MON=9，要分两种情况，即点N在第一象限或在第四象限内，不能出现漏解.本题充分体现了分类讨论的数学思想.

解：（1）由题意可知：5=k+b，6=b.解得k=-1，b=6.故所求的函数的解析式为y=-x+6.

（2）易知M（6，0）.设N点的坐标为（x，y），则S△MON= OM·｜y｜.因OM=6，故 ·6·｜y｜=9.

∴y=3或y=-3.

当y=3时，x=3；当y=-3时，x=9.

∴点N的坐标为（3，3）或（9，-3）.如图1所示.

例2已知一次函数的图象经过点P（0，-2），且与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为3.求这个一次函数的解析式.

分析：设一次函数的解析式为y=kx+b.由一次函数的图象经过点P（0，-2），可得b=-2.又根据函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为3，可确定一个关于k 的方程，从而求出函数解析式.

解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.

因函数的图象经过点P（0，-2），则代入有b=-2.于是y=kx-2.

令y=0，得x= .所以这个一次函数的图象与x轴的交点为 ，0.

由题意知 ·｜-2｜· =3，故k=± .

∴这个一次函数的解析式为y= x-2或y=- x-2.

点评：由面积公式得 ·｜-2｜· =3，一定要注意这里的 不可写为 ，因为并不知道k是正是负.这也是解这类与面积有关的问题时一定要注意的.

例3已知y+b与x+1成正比例（其中b是常数），且比例系数是k.

（1）证明：y是x的一次函数.

（2）若这个一次函数中y随x的增大而增大，且点P（b， k）与点Q1，- 关于原点对称，求这个一次函数的解析式.

分析：本题的第（1）问易证.而对于第（2）问，由于点P与点Q关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点P与点Q的纵、横坐标均互为相反数，因此可确定b和k的值.

解：（1）由题意，y+b=k（x+1），故y=kx+k-b.所以y是x的一次函数.

（2）因点P（b， k）与点Q1，- 关于原点对称，故b=-1，k=±1.

故一次函数的解析式为y=x+2或y=-x.又y随x的增大而增大，故y=x+2为所求.

例4已知一次函数y=kx+b中，自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数的取值范围是-11≤y≤9.求此函数的解析式.

分析：由一次函数图象的性质，知k有两种情况：①k>0；②k<0.如图2.若在解题过程中只考虑k>0的情况，就会造成漏解.（下转第31页）

解：本题分两种情况讨论.

（1）当k>0时，y随x的增大而增大.x=-2时，y=-11；x=6时，y=9.

所以，代入得-2k+b=-11，6k+b=9.于是k= ，b=-6.

∴所求的函数解析式为y= x-6.

（2）当k<0时，y随x的增大而减小.x=-2时，y=9；x=6时，y=-11.

所以，代入得-2k+b=9，6k+b=-11.于是k=- ，b=4.

∴所求的函数解析式为y=- x+4.

综上所述，此函数的解析式为y= x-6或y=- x+4.

点评：本题中求得的两个解析式中的“k”互为相反数，这是这类题的一个规律，而不仅仅是巧合.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文