图解方案设计型问题

张德柱

方案设计型问题一直是近几年中考的热点，它考查学生能否从不同的角度分析问题和解决问题，能否解释结果的合理性.为使同学们掌握方案设计型问题的解题技巧，特举例解析如下.

例1（2008年·重庆）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地分别筹集了赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县.根据灾区的情况，这批赈灾物资中运往D县的要比运往E县的2倍少20吨.

（1）求这批赈灾物资中运往D、E两县的各是多少吨.

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D县的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资的吨数小于A地运往D县的赈灾物资的吨数的2倍.其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资不超过25吨.那么，A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案.

（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表.

为了及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的任务.在（2）问的要求下，该公司运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

分析：（1）问可根据题意列方程组，较易解决.（2）问根据题目中给出的赈灾物资运往各地的质量可考虑列出关于x的不等式组，求出A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案.（3）问可从求总费用与x的函数关系式入手，依据自变量x的取值范围求出函数最大值，关键是正确建立函数关系式.

解：（1）设这批赈灾物资运往D县的为a吨，运往E县的为b吨，由题意得a+b=280，a=2b-20，解得a=180，b=100.此即为所求.

（2）由题意及（1）的结果，可作出图1所示的示意图，并可得到不等式组120-x<2x，100-（120-x）≤25，解得40

因x为整数，故x可取值41、42、43、44、45，则这批赈灾物资的运送方案相应地有5个.下面列举2个.

方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨.

方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨.

（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元，则由题意得w=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20=-10x+60 800.

因为w随x的增大而减小，且40

点评：函数类的应用题，关键是准确地写出表达各种量的代数式，正确建立函数模型，并求出自变量的取值范围.解题的目标最终转化为求函数最值.另外，利用不等式设计方案时，要注意问题的实际意义 .如本题中要注意“x为整数”这个条件，这样才能确定具体的方案.找到函数解析式中自变量的取值范围，往往是解决这类问题的关键所在.不易理清思路时，可画出示意图帮助弄清关系.

例2某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表.

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y与x之间的函数关系式，并写出 x的取值范围.

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，试说明有多少种分配方案，并将各种方案写出来.

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理化建议.

分析：根据题设，可作出下面的示意图，从而获得解题思路.

解：（1）设乙型有x台派往A地区，则（30-x）台派往B地区.从而依条件有：甲型有（30-x）台派往A地区，（x-10）台派往B地区.

故y=1 800（30-x）+1 600（x-10）+1 600x+1 200（30-x）=74 000+200x.

∵0≤x≤30，0≤30-x≤20，0≤x-10≤20，

∴10≤x≤30.

（2）由题意，74 000+200x≥79 600，故x≥28.

∴x=28，29，30.有三种方案（具体方案略）.

（3）由（1）知y随x的增大而增大，故当x=30时，有y最大=74 000+200×30=80 000.建议就是：把乙型收割机全部派往A地区，甲型收割机全部派往B地区.

点评：题中所给的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以画出示意图来整理信息.解决这类问题的基本思路是：采用示意图，结合题意建立恰当的函数关系式.结合各个量的约束条件求出未知数的范围，再结合实际问题确定可能的方案.根据一次函数的增减性确定出最优方案.

例3（2008年·丽水）为了促进“长三角”区域的便捷沟通，实现节时、节能，杭州湾跨海大桥于今年5月1日通车.下表是宁波到上海的两条线路的有关数据.

（1）若小汽车的平均速度为80 km/h，则小车走直路比走弯路节省多少时间？

（2）若小汽车每千米的油耗为x升，汽油价格为5元/升，请探求：对x的不同取值，走哪条线路的总费用较小（总费用=过路费+油费）.

分析：该题（1）问较易.（2）问由题意可知：走每条线路所需的费用是每千米的油耗的函数，故可以构建“函数模型”.

解：（1）（316-196）÷80=1.5，所以小汽车走直路比走弯路节省了1.5 h.

（2）设小汽车走直路和走弯路的总费用分别为y1元、y2元，则y1=5×196x+180=980x+180，y2=5×316x+140=1 580x+140.设走直路和走弯路的费用之差为y元，则y=y1-y2=-600x+40.画出一次函数y=-600x+40的图象，如图3，它与x轴的交点为 ，0.由图象可知：

当x= 时，y=0，即y1=y2，两种线路总费用一样；当00，即y1>y2，小汽车走弯路的总费用较小； 当x> 时， y<0，即y1

点评：本题属于函数应用题，可以利用方程或不等式解决，也可以利用函数图象解决.本解把比差法与图象法相结合，比较直观地解决了问题.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文