函数概念的几点注解

李　师

什么是函数呢？一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的确定的值与之相对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时的函数值．正确理解这一定义需注意以下四点．

函数定义中有两个变量，一个是自变量x，另一个是函数y．由自变量的变化才引起函数的变化，所以函数关系即为某一变化过程中两个变量之间的关系．例如，长方形的面积S＝ab，其中a、b为长方形的长和宽，若a为定值，则S是b的函数，b是自变量．

自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义.在函数的解析式中，含自变量x的代数式的形式通常有以下几种．

1． 整式型：其自变量的取值范围是全体实数．

例如，y=2x-1中，自变量x的取值范围是全体实数．

2． 分式型：其自变量的取值范围是使分母不为0的实数．

例如，y= 中，因0不能做分母，故1-x≠0，则自变量x的取值范围是x≠1．

3． 二次根式型：其自变量的取值范围是使被开方式非负的实数．

例如，y= 中，因负数没有平方根，故x+1≥0，即x≥-1，所以自变量x的取值范围是x≥-1．再如，y= 中，自变量x的取值范围是x=0．

4． 若包含上述两种或三种情况时，自变量的取值范围是各个取值范围的公共部分．

例如，函数y= 中，x的取值范围应为x+1≥0，2x-3≠0，也就是两个不等式x+1≥0与2x-3≠0的公共解．故x≥-1且x≠ ．

5． 当用函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．

例如，圆的面积公式S=πr 2中，r表示圆的半径，故r>0（或r≥0）．

“唯一性”是指：自变量x在其取值范围内，每取一个确定的值，y都有值与之对应；同时，自变量x在其取值范围内，每取一个值时，y只有一个值与之对应．例如，y=x 2中，x在实数范围中任意取一个值时，y有且只有一个值与之对应，故y是x的函数.但反过来，y在非负数的范围内任取一个值，x会有一个或两个值与之对应，故x不是y的函数．

在某函数关系中有两个变量，若它们都能满足“对一个变量在其取值范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一的确定的值与之相对应”，那么它们谁都可以作为对方的函数．比如y=2x中，y是x的函数，x也是y的函数.在确定的问题中，我们会根据需要来视某个变量为自变量，某个变量为函数.

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