“三阶幻方”的妙用

2008-11-11 10:02丁学明
关键词:三阶轮流对角线

丁学明

“三阶幻方”想必大家都知道吧.同学们还记得它的玩法吗?如果都记得,那就跟着丁老师一起去解决下面的问题吧.

“三阶幻方”有一个最明显的性质:它的横行、竖列、对角线上的三个数之和都相等.我们可以利用这一性质,迁移去解决一些数学问题.下面举两例,以飨读者.

1.爱因斯坦填数题.

如图1所示的9个圆圈是3个小的等边三角形、1个位于中间的等边三角形和3个大的等边三角形的顶点.将1~9这9个数字填入圆圈,要求这7个三角形中每个三角形顶点处的数之和相等.

观察图形,可以发现:中间三角形的三个圆圈和其余6个三角形的联系最多.而这一点和“三阶幻方”中的对角线上的数比较相似.我们不妨在中间三个圆圈里填上5,2,8或4,5,6.

下面是一种具体的填法:①中间三个圆圈填5,2,8;②从“三阶幻方”中看出8与4,3相加得15,所以与8组成小三角形中的另两个圆圈里应填3,4;③确定3,4的位置.观察“三阶幻方”,有4,9,2和3,5,7.这样就简单了,把4放在2,8横线上,让2,4,9组成一个大三角形,把3放在5,8斜线上,让3,5,7组成一个大三角形.其余相同,见图2.

同理可填出另外三种情况,见图3、图4、图5.

2.冯·诺依曼的“取牌游戏问题”.

曾有人向世界杰出的数学家,第一台电子计算机发明者冯·诺依曼教授请教了如下一个取牌游戏问题:

9张扑克牌,分别是A(作为1点),2,3,…,9,牌正面朝上放在桌子上.两人轮流取牌,已取走的牌不能重新放回去,谁手中有3张牌点数加起来等于15,谁就赢.

冯·诺依曼教授在一分钟思考时间里,就想到了“三阶幻方”.因为“三阶幻方”里有8组数之和都等于15.于是上面的取牌游戏就变成了另一种截然不同的形式:对阵的双方,一方要尽可能使自己占据“三阶幻方”中某行、某列、某对角线上的三个位置;而另一方则要竭力阻拦这种局面的形成.实际上,这就是中国古老的游戏“吃井字”:如图6,两人轮流在一个“井”字框里画“○”或“×”,谁能把自己画的“○”或“×”连成一条直线,谁就算赢.

我们注意到,在8个三数之和为15的组合中,含有5的有4种,含有2,4,6,8的各有3种,而含有1,3,7,9的各有2种.由此可见,先拿牌的人必须取“5”,即占据“井”字格的中央位置,这样便会稍占一些便宜.因为,若后拿牌的人此时取奇数点的牌的话,则他必败无疑!只要分析一下图6中的记号,你就会明白其中的奥秘.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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