“三阶幻方”的妙用

丁学明

“三阶幻方”想必大家都知道吧.同学们还记得它的玩法吗？如果都记得，那就跟着丁老师一起去解决下面的问题吧.

“三阶幻方”有一个最明显的性质：它的横行、竖列、对角线上的三个数之和都相等.我们可以利用这一性质，迁移去解决一些数学问题.下面举两例，以飨读者.

1．爱因斯坦填数题.

如图1所示的9个圆圈是3个小的等边三角形、1个位于中间的等边三角形和3个大的等边三角形的顶点.将1~9这9个数字填入圆圈，要求这7个三角形中每个三角形顶点处的数之和相等.

观察图形，可以发现：中间三角形的三个圆圈和其余6个三角形的联系最多.而这一点和“三阶幻方”中的对角线上的数比较相似.我们不妨在中间三个圆圈里填上5，2，8或4，5，6.

下面是一种具体的填法：①中间三个圆圈填5，2，8；②从“三阶幻方”中看出8与4，3相加得15，所以与8组成小三角形中的另两个圆圈里应填3，4；③确定3，4的位置.观察“三阶幻方”，有4，9，2和3，5，7.这样就简单了，把4放在2，8横线上，让2，4，9组成一个大三角形，把3放在5，8斜线上，让3，5，7组成一个大三角形.其余相同，见图2.

同理可填出另外三种情况，见图3、图4、图5.

2.冯·诺依曼的“取牌游戏问题”.

曾有人向世界杰出的数学家，第一台电子计算机发明者冯·诺依曼教授请教了如下一个取牌游戏问题：

9张扑克牌，分别是A（作为1点），2，3，…，9，牌正面朝上放在桌子上.两人轮流取牌，已取走的牌不能重新放回去，谁手中有3张牌点数加起来等于15，谁就赢.

冯·诺依曼教授在一分钟思考时间里,就想到了“三阶幻方”.因为“三阶幻方”里有8组数之和都等于15.于是上面的取牌游戏就变成了另一种截然不同的形式：对阵的双方，一方要尽可能使自己占据“三阶幻方”中某行、某列、某对角线上的三个位置；而另一方则要竭力阻拦这种局面的形成.实际上，这就是中国古老的游戏“吃井字”：如图6，两人轮流在一个“井”字框里画“○”或“×”，谁能把自己画的“○”或“×”连成一条直线，谁就算赢.

我们注意到，在8个三数之和为15的组合中，含有5的有4种，含有2，4，6，8的各有3种，而含有1，3，7，9的各有2种.由此可见，先拿牌的人必须取“5”，即占据“井”字格的中央位置，这样便会稍占一些便宜.因为，若后拿牌的人此时取奇数点的牌的话，则他必败无疑！只要分析一下图6中的记号，你就会明白其中的奥秘.

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