几种常见的概率计算问题

姜强柱

解概率问题如果是一次操作问题，一般直接用公式法；如果是两次操作问题，一般用列表法或画树状图法都可以解答；如果是三次操作问题，用画树状图法较易解答.

一、游戏类问题

例1 图1是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形.装置A上的数字分别为1，6，8，装置B上的数字分别是4，5，7，这两个装置除表面数字不同外，其他结构相同.现在你和另一个人分别同时用力转动A，B两个转盘上的箭头.规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头停在界线上，再重转一次，直到不停在界线上为止），那么你会选择哪个装置？为什么？

解析： 这是两次操作问题，所以用列表法.把所有可能得到的数字组合列成下表：

由表知P（A>B）= ，P（B>A）= ，所以选择A装置.

例2 （济宁市）如图2，将转盘等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6.指针的位置固定，自由转动转盘，当它停止时，指针指向偶数区域的概率是（指针指向两个扇形的交线时，当做指向右边的扇形）______，请你利用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针所指区域的概率为 .

解：指针指向偶数区域的概率是P＝ ＝ .

游戏设计：① 将1和2所在的扇形涂成红色，3和4所在的扇形涂成黄色，5和6所在的扇形涂成绿色，则指针指向红色或黄色或绿色区域的概率都为 .② 分别将1和4所在的扇形涂成红色，2和5所在的扇形涂成黄色，3和6所在的扇形涂成绿色，则指针指向红色或黄色或绿色区域的概率为 .

例3 （辽宁省）四张质地相同的卡片如图3所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求随机抽取1张卡片，恰好得到数字2的概率.

（2） 小贝和小晶用以上4张卡片做游戏，规则见图4，你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图法说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏变得公平.

解析： （1） 是一次操作问题，可直接用公式.（2） 是两次操作问题，要用列表法或画树状图法.

（1） P（恰好得到数字2）= = .

（2） 根据题意画树状图如图5.

从树状图中可以看出所有可能的结果共16种，不超过32的两位数有10个，超过32的两位数有6个.

P（不超过32）＝ = ；

P（超过32）＝ = .

因为二者不相等，所以游戏不公平.

修改规则：① 组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜.这样能使游戏公平.

② 抽到的两位数不超过32的得3分；抽到的两位数超过32的得5分.这样能使游戏公平.（有多种修改方法，仅举两种）

二、综合计算题

例4 （沈阳市）如图6，A，B，C是三个几何体，设正对我们的方向为它们的正面.设A，B，C三个几何体的主视图分别是A1，B1，C1，左视图分别是A2，B2，C2，俯视图分别是A3，B3，C3.

（1） 请你分别写出A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3图形的名称.

（2） 小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1，A2，A3的3张卡片放在甲口袋中，画有B1，B2，B3的3张卡片放在乙口袋中，画有C1，C2，C3的3张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别取出1张卡片.

① 通过补全图7的树状图，求出小亮随机抽取3张卡片上的图形名称都相同的概率；

② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的3张卡片中，只有2张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；3张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？

解析： 这是三次操作问题，用树状图是解决问题的最有效办法.

（1） 由已知可得A1，A2是矩形，A3是圆；B1，B2，B3都是矩形；C1是三角形，C2，C3是矩形.

（2） ① 补全树状图如图8.

由树状图可知，共有27种等可能的结果，其中3张卡片上的图形名称都相同的有12种.所以3张卡片上的图形名称都相同的概率是 = .

② 游戏对双方不公平.由①可知，3张卡片中只有2张卡片上的图形名称相同的概率是 ，即P（小刚获胜）＝ ；3张卡片上的图形名称完全不相同的概率是 ＝ ，即P（小亮获胜）＝ .

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文