中考四边形折叠问题两例

谢　勇

折叠将四边形和轴对称变换有机地融合在一起，是学习几何知识和训练思维的很好形式，也是中考的必考内容.现结合两例2008年中考试题说明．

例１ （南昌市）如图1，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.

（1） 求证：B′E=BF.

（2） 设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

证明：（1） 由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE.

在矩形ABCD中，由AD∥BC，可得∠B′EF=∠BFE.

∴∠B′FE=∠B′EF，则B′F=B′E，即B′E=BF.

（2） a，b，c三者关系有两种可能情况.

① a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．

证明如下.

连接BE（如图2），则BE=B′E．

由（1）知B′E=BF=c，所以BE=c.

显然△ABE是直角三角形，所以a2+b2=c2.

② a，b，c三者存在的关系是a+b>c．证明略.

点评： 第（2）问是开放性结论，富有探究性．我们可发现，四边形B′FBE实际上是菱形，虽然在解答过程中并不需要用到它，但同学们要把它作为一个常识性结论熟练掌握，这是通性通法的体现．对于第（2）问中的①②两种情况，回答一种即可．

例２ （连云港市）如图3，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．

（1） 求证：四边形ADEF是正方形.

（2） 取线段AF的中点G，连接EG，如果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

证明：（1） 易知∠A=90°，∠ADE=90°，∠DEF=90°.

∴四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等．

∴四边形ADEF是正方形．

（2） 连接DG（如图4），显然四边形GBCE是梯形．

易证△AGD≌△FGE，所以∠DGA=∠EGB.

∵BG=CD，BG∥CD，

∴四边形BCDG是平行四边形．

∴DG∥CB.由此可知∠DGA=∠B.进而可得∠EGB=∠B.

∴四边形GBCE是等腰梯形．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文