四边形问题归类分析

张志明

四边形问题虽然概念很多，但中考中纯考查概念的问题并不多，大多是通过设置操作型、运动变化型、应用型、探究型、开放型等题目多方面考查学生的数学学习能力.本文以2008年有关四边形的中考题进行归纳.

一、动手操作问题

动手实践是学习数学的三种重要方式之一.近年来各省、市中考都在实验操作上增强了考查力度.

例1 （滨州市）将一正方形纸片按图1的顺序折叠，将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.

将纸片展开，得到的图形是（）.

解析： 按图中的标示，将虚线部分向实线部分折叠（或实线部分向虚线部分折叠），不要随便将纸片翻转，通过实验操作可知应选C.

点评：如果不规范操作，这道题可能剪出A或B的图案，同学们可以试试.

二、折叠问题

解折叠问题的关键是必须掌握折叠后的图形与原图形关于折痕所在直线对称，其对应线段相等、对应角相等.

例2 （重庆市）如图2，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G.连接GF.下列结论：① ∠AGD=112.5°；② tan∠AED=2；③ S△AGD = S△OGD；④ 四边形AEFG是菱形；⑤ BE=2OG.其中正确结论的序号是 .

解析： ① 由折叠的对称性，可知∠ADE=∠FDE.由四边形ABCD为正方形，可知∠ADF＝∠CAD=45°.故∠ADG=22.5°，∠AGD=112.5°.

② 由折叠的性质，可知AE=EF，∠DAE＝∠EFD＝∠AOD＝90°.所以EF∥AC，得∠FEB=∠CAB=45°，BE＝ EF= AE.

∴AD=AB=（1+ ）AE，则tan∠AED=1+ ≠2.

③ 显然△AGD≌△FGD.所以S△DOG≠S△AGD.

④ 由①通过计算可得∠FGO=∠GAE=45°，所以GF∥AE.由②知EF∥AC，又AE=EF，所以四边形AEFG是菱形.

⑤ 由GF= GO，EB= EF，GF=EF，可知BE=2OG.

故正确结论的序号是①④⑤.

三、动态几何问题

例3 （荆门市）如图3，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．

解析： 设BD交AC于点O.取边DC的中点Q，连接PQ，显然点Q与点N关于直线AC对称.连接QM，则PM+PN=PM+PQ>QM.当点P运动到点O时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝MQ，四边形AMQD为平行四边形，MQ＝AD.由AO＝4，DO=3，可得AD＝5，所以MQ＝5.所以PM+PN的最小值是5.

点评：通过某元素运动变化考查几何图形的性质，是四边形问题中最常见的题型.涉及最多的是矩形、菱形、正方形和梯形.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文