综合型概率问题

2008-11-11 10:02陈茂林
中学生数理化·中考版 2008年10期
关键词:所有格格点正整数

陈茂林

概率与代数、概率与几何综合问题是一种重要的题目类型,中考中也经常出现.本文以中考题为例说明这类问题的特点和解法,供参考.

例1 (2008年泰州市)已知关于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).

(1) 当a=-2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集.

(2) 小明准备了10张形状、大小完全相同的不透明卡片,上面分别写有整数-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1.将这10张卡片一面向下放在桌面上,从中任意抽取1张,以卡片上的数作为不等式的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率.

分析: 第(2)题用列举法,把10个整数作为系数a逐个代入不等式,求出不等式的解集,然后逐一探求此不等式是否有正整数解.在弄清楚所有情况之后,根据古典概型的概率计算方法求出此不等式没有正整数解的概率.

解:(1) 略.

(2) 取a =-1,不等式ax+3>0的解集为x<3,不等式有正整数解.

取a =-2,不等式ax+3>0的解集为x< ,不等式有正整数解.

取a =-3,不等式ax+3>0的解集为x<1,不等式没有正整数解.

取a =-4,不等式ax+3>0的解集为x< ,不等式没有正整数解.

经验证,取a =-5,-6,-7,-8,-9,-10时,不等式ax+3>0都没有正整数解.

∴共有10种可能情况,其中没有正整数解的情况有8种.

∴P(不等式没有正整数解)= = .

例2 (2007年镇江市)如图1,圆心与坐标原点重合.在直角坐标系中,我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“格点”.

(1) 写出⊙O上所有格点的坐标:______.

(2) 设l为经过⊙O上任意两个格点的直线.

① 满足条件的直线l共有多少条?

② 求直线l同时过第一、二、四象限的概率.

解:(1) ⊙O上所有格点的坐标为:(1,2),(2,1),(2,-1),(1,-2),(-1,-2),(-2,-1),(-2,1),(-1,2).

(2) ① 不妨设第(1)题的8个点依次为A,B,C,D,E,F,G,H,那么经过点A的直线有7条.同理,经过B,C,D,E,F,G,H点的直线也各有7条,但是AB和BA是同一条直线,所以经过格点的直线共计有:7×8÷2=28(条).

也可用列表或画树状图法求得.

② 同时经过第一、二、四象限的直线为AB,AC,BH,CH.

所以P(直线l同时经过第一、二、四象限)= = .

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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