算术平方根性质的应用

申中丽

算术平方根的性质:当a≥0时, ≥0.特别地,

=a=a(a≥0),-a(a<0).

算术平方根的这一性质(非负性)应用非常广泛.它主要应用于以下几个方面.

一､求未知数的取值范围

例1 已知=2m-1,求m的取值范围.

解:因为==2m-1=2m-1,所以2m-1≥0,故m≥.

二､解某些特殊的方程

例2 解方程:+y2-y+=0.

解:原方程变形为+y-2=0.因为≥0,y-2≥0,所以当+y-2=0时,必有x-2=0,y-=0.所以x=2,y=.

三､判断某些无理方程根的情况

例3 试判断无理方程+4=0是否有实数解.

解:移项得=-4.根据算术平方根的性质,方程的左边=≥0,而方程的右边=-4<0,所以此方程无解.

四､化简或变形

例4 化简:+-(3

解:原式=a+2+a-3-a-5.

因30,a-5<0,a-3>0.原式=(a+2)+(a-3)-(5-a)=3a-6.

例5 化简:(4-x).

解:由>0,得x>4,所以4-x<0.

所以(4-x)=-x-4=-=-.

五､求最值

例6 求5-的最大值和最小值.

解:被减数一定,要使差最大(小),须使减数最小(大).

因为≥0,故减数的最小值为0.

所以当x=±2时,5-取最大值,最大值为5.

欲使减数=取最大值,须使4-x2取最大值,故x2应取最小值.

当x=0时,x2有最小值0,此时即有最大值2,5-有最小值3.

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