从 与π的不同说起

赵利敏

在学习了无理数之后,大家都对无理数有了初步的认识,了解到,,仔等是与我们以前接触到的有理数完全不同的一类数.这些无理数在实数中占有很大的“比例”,相对而言,我们以前学过的有理数其实只是实数中很小的一部分.在初次认识无理数时,大家通常都会比较容易接受那些带根号的无理数,而对仔这样的无理数总有一些怪异的感觉.那么,无理数之间究竟都有什么区别呢?和又有什么不同呢?数学家们经过研究,根据实数等的一些数学特征,作出了如下的定义.

如果一个数是某个系数不全为零的整系数多项式方程(即形如anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0=0的方程,其中系数an,an-1,an-2,…,a1,a0均为整数)的根,则称此数为代数数.不是代数数的数,叫做超越数.

比如,有理数都是代数数,而那些开方开不尽所产生的带根号的无理数,通常也都是代数数(例如,是方程x2-2=0的一个根).

法国19世纪数学家刘维尔开创了对超越数的研究的先河,他于1844年构造出历史上第一批超越数.可以看出,超越数的研究距今才仅仅100多年!在这之前,对无理数的研究已成为数学界的一个热点.1744年,数学大师欧拉证明了自然对数的底e是无理数(e≈2.718 281 828 4).1761年,德国数学家朗伯证明了圆周率π是无理数.

1882年,德国数学家林德曼证明了π 是超越数,并且据此完全否定了“化圆为方”作图的可能性.还有,前面所说的自然对数的底e也是超越数.另外,像0.101 001 000 100 001…这类的无理数,一般也都是超越数.

迄今为止,人们发现和研究的超越数少之又少,因为要证明一个数是超越数极其困难.然而,这并不表明超越数的“数目”不多.19世纪末,数学上最令人震惊,同时也是最引起争论的成就,是德国数学家康托尔创设的集合论.这是人类首次“冒犯”无穷大这些数,并企图揭开它们的面纱.康托尔的理论之一,是利用一一对应的方法比较含有无穷多个元素集合之间元素个数的大小,像比较实数与有理数的“个数”的大小.康托尔的集合论中,证明了一件相当重大的结果,那就是,实数的“个数”远远多于有理数的“个数”.由于实数是由无理数和有理数组成的,所以无理数的“个数”远远多于有理数的“个数”.超越数虽然都是无理数,然而超越数的“个数”远远超过代数数(里面也包括一些无理数)的“个数”!用一句不太数学的语言来说,那就是实数中几乎所有的数都是超越数!

要判断一个无理数是不是超越数是非常困难的,甚至是不可能的.至今仍有一些数我们无法将它们归类(代数数､无理数､超越数等).举两个例子,就是π+e以及π×e.人们已经证明π和e都是超越数,而且还可以证明它们的和和积中至少有一个是超越数,但到目前为止,还没有人可以严格地证明到底哪一个是超越数.

1900年在巴黎召开的国际数学家代表大会上,德国数学家希尔伯特发表了《数学问题》的著名演讲.在演讲中他提出了23个最重要的数学问题.这23个问题现在被称为“希尔伯特问题”,它们对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响.

希尔伯特的23个问题中的第7个问题是:如果α是不等于0和1的代数数,β是无理代数数,那么α β(例如,2)是超越数吗?或至少是无理数吗?

希尔伯特曾预言,这个问题的解决将迟于23个问题中许多困难的问题.然而,前苏联的盖尔封特于 1929年､德国的施奈德于1935年分别独立地证明了其正确性,现在人们称其为盖尔封特-施奈德定理.即2,3这类数都是超越数. 1966年后,这一结果又被英国数学家贝克等人大大地推广和发展了(比如, eπ是一个超越数).

但是,关于超越数的理论还远未完成.目前,确定所给的数是否为超越数,尚无统一的方法,也是很困难的.

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