勾股定理与费马大定理

郭红军

提起哥德巴赫猜想,很多人都听说过,因为我国数学家曾对这个猜想作出过杰出的贡献, 特别是数学家陈景润的结果到现在还是最好的.在数学界,哥德巴赫猜想被称为“皇冠上的明珠”.由于证明这个猜想的难度很高,以至于有人断言,证明哥德巴赫猜想所需要的工具现在还没有发明出来!

如果有人问起上世纪数学界最重要的结果是什么,相信很多人都会说是费马大定理.这个悬置长达350多年､比哥德巴赫猜想更著名的难题,在1995年被英国数学家怀尔斯彻底解决.同年,怀尔斯因此荣膺数学界著名的沃尔夫奖.

学过平面几何的人都知道,设a､b为直角三角形的两条直角边边长,则斜边长c跟a､b满足关系式c2=a2+b2. 中国人称它为“商高定理”,因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载,古代数学家商高谈到过这个关系式.但人们更普遍地称其为勾股定理,这是因为在《周髀算经》中记载着“勾三股四弦五”.在西方,上述关系式称为毕达哥拉斯定理,这是因为西方的数学及科学来源于古希腊,古希腊流传下来的最古老的著作之一便是欧几里得的《几何原本》,而其中许多定理再往前追溯,自然就落在毕达哥拉斯的头上了.毕达哥拉斯被西方推崇为“数论的始祖”.

如果把勾股定理c2=a2+b2中的 a ,b ,c视为未知数,则它就变成了一个不定方程(即未知数的个数多于方程个数的方程).方程c2=a2+b2也是最早得出比较完整解答的不定方程,因为每一组勾股数即是这个方程的一组正整数解,而勾股数的规律和构造方法古人早已发现.

法国人费马(Pierre de Fermat, 1601-1665)虽然学的是法律,从事的也是律师的职业,但他对数学却有浓厚的兴趣.他在业余时间常阅读各类数学书,并且自己也从事一些数学研究,钻研一些数学问题.他在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书中关于方程x2 + y2 = z2的一般解的论述时,在书的空白处,用笔写下这样的心得:“反过来说,不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和,一个四方数分拆为两个四方数之和.更一般地, 任何大于二的方数不能分拆为两个同样方数之和.我已发现了一个绝妙的证明,但因为空白太小,写不下整个证明”.用数学语言来表达,费马的结论是:

当n≥3时, 方程xn+yn=zn 没有正整数解.

这个方程的形式与勾股定理很相似,仿佛是勾股定理的一种延伸,只是字母的次数由2变为了n(当然,还选择用不同的字母来表示,但这不是实质性的区别).费马的结论中,当n=2时,就是勾股定理的情形,这时方程有无数组正整数解,每组勾股数都是它的解.

虽然只是指数由2变为了n(n≥3),但问题的难度却陡然升高了许多许多.人们费尽了心血,包括最杰出的数学家和数不清的业余数学爱好者,但很长时间一直找不到费马大定理的证明方法.后来,人们已经不相信费马是真的找到了这个结论的证明,推测他可能如成千上万的后来人一样,自以为证明出来而实际上搞错了.然而,费马确实创造了一种独特的方法,证明了n=4 的情况.n=3 的情况则是大名鼎鼎的数学家欧拉在1753年给出的.19世纪初,实际上只有n=3,n=4两种情况得到了证明.而n=5的情况则是在经历了半个多世纪,一直到 1823年才首次完全证明.费马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战.为了表示学术界对它的重视,1816年法国科学院首次为费马大定理设立了大奖.许多大数学家,其中包括当时顶尖的数学家,如高斯和柯西,都曾热衷于这个问题.然而,他们并没有实质性的突破.

在早期尝试解决费马大定理的英雄豪杰里,还有一位巾帼英雄,她是德国的苏菲·日尔曼.小时候她是一个很害羞､胆怯的女孩,靠自学､阅读来研究数学.由于当时女性在数学界受到歧视,她就用一个男性化名同一些大数学家通信,其中包括高斯和勒让德.她的才能使这些一流的数学家大为惊讶.

随着数学各分支的不断发展,各种数学工具涌现了出来,数学家们手中的武器越来越多.进入20世纪,在许多代数学家前仆后继的努力之下,1983年,德国数学家法尔廷斯证明了一个定理.他的证明用到了多位数学家的成果.这个定理表明,如果xn+yn=zn有一些互质的正整数解,那么解的个数最多也只有有限多个.另一位数学家希斯·布朗则证明了,对于几乎所有的质数,费马大定理都成立.

1985年,德国数学家符莱又把费马大定理的研究向前推进了一步.

英国数学家怀尔斯正是沿着前面许多数学家开辟的道路,在经过漫长的7年探索后,终于在1993年6月取得了突破,并最终在1995年完全证明了费马大定理,为这个世界难题彻底画上了句号.

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