勾股定理在生活中的应用

崔艳峰

勾股定理源于生活,贴近现实.它不但揭示了直角三角形三边之间的数量关系,把数与形结合起来,而且可以解决许多与实际生活紧密联系的问题.现举例说明.

一､测量问题

例1 老师要求同学们测量学校旗杆的高度.小明发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1 m.当他把绳子的下端拉开5 m后,发现绳子下端刚好接触地面.你能帮小明求出旗杆的高度吗?

分析:根据题意,可以把旗杆与地面看成一个直角三角形的直角边,绳子当做斜边.先设出绳子的长,然后利用勾股定理列出方程求解.

解:如图1,设绳子AB长为x m,则旗杆的高度AC为(x-1) m.在Rt△ABC中,由勾股定理,得

AC2+BC2=AB2,即(x-1)2+52=x2.

解得x=13,则x-1=12.故旗杆的高度为12 m.

说明: 测量某些建筑物的高度时,常利用勾股定理列方程求解.

二､建筑问题

例2 某工程队验收工程时,为了检测某建筑物四边形地基的四个墙角是否是直角,分别测量了地基的两边长和一条对角线的长,得到的数据为16 m,9 m,19 m,如图2.请问:这个建筑物是否合格?(是直角则合格,否则不合格)

分析:如果满足勾股定理逆定理,说明墙角为直角,否则不是直角.

解:如图2,由题意知AB=9 m,BC=16 m,AC=19 m.

AB2+BC2=92+162=337.AC2=192=361.

因AB2+BC2≠AC2,所以∠ABC≠90°.所以不合格.

三､地毯花费问题

例3 如图3,如果在高为3 m､斜坡长为5 m的楼梯表面铺地毯,则至少需要多少米长的地毯?若楼梯宽2 m,每平方米地毯需要30元,那么购置地毯至少需要花费多少钱?

分析:楼梯水平方向的长度和为AC,竖直方向的长度和为BC,要求地毯的长度,只需利用勾股定理先求出AC,再求AC+BC即可.

解:在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,所以AC2=AB2-BC2=52-32=16=42.

所以AC=4 m.故地毯长度至少为AC+BC=4+3=7(m).

所以地毯总面积为7×2=14(m2),花费至少为30×14=420(元).

说明: 解决本题的关键是构建数学模型,即直角三角形,并且借助勾股定理求出AC的长.

四､台风预测问题

例4 据气象台预报,一个由南向北移动的台风,其中心在A市南偏东45°方向,且离A市 400 km的B地登陆.已知在距台风中心260 km的范围内都会受到台风侵袭,那么A市会不会受到此次台风的侵袭?为什么?

分析:本题提供了较多的文字信息,需要在阅读的基础上提炼出有用的信息.要想知道A市是否会受到台风的侵袭,关键是看当台风到达A市的正东方向时(这时台风最接近A市),A市是否在台风的侵袭范围内.

解:如图4,过点A作AC⊥BC,垂足为C,则AB=400 km,∠CAB=∠CBA=45°,△ABC是等腰直角三角形.

由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2AC2=AB2,所以AC===200≈282.8(km),AC>260 km.

故A市不会受到此次台风的侵袭.

说明:这类“影响范围”的问题,常常要作有关直线的垂线,从“最短距离”处进行判断.

五､航海问题

例5 一艘轮船A以16海里 / 时的速度离开港口O向西南方向航行,另一艘轮船B同时以12海里 / 时的速度离开港口O向东南方向航行,则1.5 h后两船相距多远?

分析:根据题意画出图形,得知两轮船航线的夹角为90°.分别求出两船航行1.5 h的路程,再根据勾股定理求出两船的距离.

解:如图5,东南方向即南偏东45°,西南方向即南偏西45°,故两船航行的方向OA､OB的夹角为直角,OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里).

连接AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB2=OA2+OB2=242+182=900,所以AB=30海里.

所以1.5 h后两船相距30海里.

说明:解决此问题的关键是画出正确的图形,并利用方位角的概念发现特殊角.然后找出直角三角形,应用勾股定理来解题.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文