速算平方根的近似值

耿京娟

在生活中,我们经常需要求出某个正数的平方根的近似值.那么,通常采用什么方法呢?课本中介绍了查表的方法､使用计算器的方法和笔算开平方法,这些都是十分实用的.但有时手边没工具,又需要很快知道某一正数开方的近似结果,那怎么办呢?下面我们介绍另一种速算的方法.

假定我们要求的近似值.因为32=9,42=16,据此知道比3大,比4小.不妨设=3+b,b是一个正的纯小数.两边平方得到13=9+6b+b2,因为b2是一个比b还小得多的正纯小数,舍去b2得到13≈9+6b,所以b≈==≈067,于是得到的一个近似值为3.67.若我们要得到更精确的近似值,那么,可以以第一次得到的近似值为基础,设=3+c,c是一个绝对值较小的正数或负数.两边平方得13=+c+c2,舍去c2,得到13≈+c.c≈=-=-≈-006,于是就有=367-006=361,就得到的第二次近似值为361.

观察上面的计算过程就会发现,在式子=3+b和=3+c中,3或3是接近于的一个有理数,b或c用分数表示时,它的分子是被开方数13与接近于的数的平方之差,分母是接近于的数的2倍,即有=≈3+,=≈-.

由此我们可以看到,这其中隐藏着某种规律性的东西,用式子表示出来就是≈a+.这一规律,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在其《九章算术注》里(约公元263年前后)就已提及.不仅如此,书中还提到,在非平方数的场合,有另一近似表达式≈a+,并指出平方根的值在上述两个近似值之间,即a+<

例如,如果我们取a=,b=-,就可以很快求出古代巴比伦人给出的的近似值.

如果我们取a=,b=,就可以得到的第一次近似值≈173,从出发,就可求出的第二次近似值≈1732 051 2.这一结果是古希腊伟大数学家阿基米德在他的著作中给出的的一个近似值.与的差小于0000 000 5

如果我们取a=35,b=0.25,就可迅速求出≈3536,它与课本上的笔算开平方得到的结果≈354是一致的.

求平方根的这种速算法对解决一些小题比较有用,比如比较两个无理数的大小,这时不要求求出非常精确的结果,只要求出一个近似值即可.

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