闵 轶
考点一:有理数的混合运算
考点说明:中考要求同学们掌握有理数的加减乘除混合运算,但并不是刻意“求难求繁”.有理数的混合运算的基础是有理数的加减乘除运算法则,掌握混合运算的运算顺序是解决问题的前提条件.
1. 有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数与0相加,仍得这个数.
2. 有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
3. 有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与0相乘都得0.
4. 有理数的除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数都得0.
5. 有理数的加减乘除混合运算的顺序:先乘除,后加减,如果有括号,一般先进行括号中的运算.
例1计算:
[-×-+-÷]÷(-2).
解:原式 = [+-]÷(-2)
= 0.
有括号的混合运算一般优先进行括号中的运算. 在进行乘法运算和除法运算时都应先确定符号,再确定数值.
考点二:倒数
考点说明:乘积为1的两个数互为倒数,即若a、b互为倒数,则ab = 1.倒数是比较基础的知识,求一个有理数的倒数是中考中的一个重要考点.
例2倒数是其本身的数是.
解:填± 1.
求倒数要掌握倒数的概念.
考点三:有理数的运算律
考点说明:掌握有理数的运算律可以使计算简化,能选择适当的运算律进行计算是大家必须具备的能力.
1. 有理数的加法运算律.
交换律:a+b = b + a.
结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2. 有理数的乘法运算律.
交换律:ab = ba .
结合律:(ab)c = a(bc).
分配律:a(b+c) = ab+ac.
例3计算:(-84)÷2×(-3)÷(-6).
解:原式 = [(-84)÷2]×[(-3)×-]
= (-42)×
=-21.
除法是乘法的逆运算,乘除运算可以转化为单纯的乘法运算,因此可以将前两项(-84与2)、后两项(-3与-6)分别结合起来进行运算,达到简化运算的目的.
考点四:运用有理数的乘除法解决实际问题
考点说明:运用有理数的乘除法可以解决生活中的实际问题,这也是我们学习这部分知识的目的.
例4一天,小明和小华利用温差测量山峰的高度,小明在山顶测得温度是-1℃,此时小华在山脚测得温度是5℃.已知该地区高度每增加100m,气温就下降0.6℃,那么这个山峰的高度大约是多少?
解:[5-(-1)]÷0.6×100
= 6÷0.6×100
= 1 000(m).
答:这个山峰的高度大约是1 000m.
题目中的条件“该地区高度每增加100m,气温就下降0.6℃”是解题的关键,根据这句话,我们只需知道山脚与山顶的温度差中有几个0.6℃,就可得到从山脚到山顶有多少个100m,从而求得山峰的大致高度.这是典型的运用有理数乘除法来解决实际问题的例子.
考点五:对含有较大数字的信息进行解释和推断
考点说明:有理数的乘法运算有时会带来一些有规律的数据,我们要掌握这些规律,并能对所得到的结论加以分析和判断.当然,处理较大数字的时候经常要借助计算器.
例5 按照下面的步骤做一做:
(1)任选1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字;
(2)将这个数字乘以9;
(3)将上面的结果乘以123 456 789.
多选几个数字试一试,你发现了什么规律?
解:若选5,则5×9×123 456 789 = 5 555 555 505;
若选7,则7×9×123 456 789 = 7 777 777 707;
……
所以,如果选择数字a(1≤ a ≤ 9,且a为整数),最后得到的数除了十位上的数字是0外,其他数字都是a.
这个规律很有趣,实际上,因为9× 123 456 789 = 1 111 111 101,所以你只要选取一个符合要求的数字,最后都会符合上面所说的规律.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文