对方差计算公式的探究

庄亿农

方差是刻画一组数据偏离平均数程度的统计量．方差越大，数据的波动性就越大，数据就越不稳定．常用计算公式s2＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］来求数据x1，x2，…，xn的方差．由于公式中用到的数据较多，所以计算比较烦琐．下面，我们介绍几种简化运算的技巧．

一、简化计算公式

因为n[x]＝x1＋x2＋…＋xn，而（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2＝x12－2x1[x]＋[x]2＋x22－2x2[x]＋[x]2＋…＋xn2－2xn[x]＋[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2[x]（x1＋x2＋…＋xn）＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2n[x]2＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2．所以s2＝（x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2）＝（x12＋x22＋…＋xn2）－[x]2．从化简后的公式可以看出，这里数据的平均数没有参与到较复杂的运算中，这样就使计算过程大为简化，特别是当一组数据的平均数是分数时，利用这个公式求方差就更方便．如求数据3，－1，2，1，－3，3的方差时，先求其平均数[x]＝（3－1＋2＋1－3＋3）＝，若用原公式计算方差，就会出现很多分数的平方，计算起来比较麻烦．但若采用化简后的公式，则s2＝［32＋（－1）2＋22＋12＋（－3）2＋32］－

2＝－＝，这样就避免了多次计算分数平方的情况．

二、数据加减后的方差

若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为[x]，方差为s2，把这组数据都加上同一个常数a，得到一组新数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a，其平均数为[x]＋a，方差为［（x1＋a－[x]－a）2＋（x2＋a－[x]－a）2＋…＋（xn＋a－[x]－a）2］＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］＝s2，即方差不变．同样，把这组数据同减去一个常数a，得到一组新数据x1－a，x2－a，…，xn－a，其平均数为[x]－a，方差仍然为s2．利用方差的这个特点，可以简化方差的求解过程．比如求数据2 011，2 007，2 010，2 009，2 005，2 011的方差时，如果直接计算，运算量较大，容易出错，观察发现，可以先将每个数据减去2 008，得到一组新的数据3，－1，2，1，－3，3，再求这组数据的方差就很容易了．

三、数据放缩后的方差

若将一组数据x1，x2，…，xn（其平均数为[x]）同时乘以m（相当于放缩），得到一组新数据m x1，m x2，…，m xn，其平均数显然为m[x]，方差为［（mx1－m[x]）2＋（mx2－m[x]）2＋…＋（mxn－m[x]）2］＝［m2（x1－[x]）2＋m2（x2－[x]）2＋…＋m2（xn－[x]）2］＝m2s2，即将一组数据同时乘以m，其方差按照m2作相应的放缩．利用这个特征，一样可以简化方差的求解过程．如求数据18，－6，12，6，－18，18的方差时，可以先将每个数据乘以，得到数据3，－1，2，1， －3，3，易求得这组数据的方差为s2＝，则数据18，－6，12，6，－18，18的方差为62s2＝173．