田发银
在求解有关线段比的问题时,巧用“1”代替某线段的长,再借助运算或推理,常可化难为易.
例1如图1,梯形ABCD的两条对角线把它的中位线EF三等分,交点为M、N.求MN∶DC∶AB的值.
简解:设EM=MN=NF=1.
在△ADC和△ABD中,由中位线性质得DC=2,AB=4.
∴ MN∶DC∶AB=1∶2∶4.
例2 如图2,在▱ABCD中,E、F为AD的三等分点.EC交BF于G,交BD于H.求EG∶GH∶HC的值.
简解:令EF=1,则BC=AD=3.
∵ AD∥BC,△EFG∽△CBG,
∴ ==,EG=GC,即EG=EC.
又==,故EH=HC,EH=EC.
∴ GH=EH-EG=EC,HC=EC.
∴ EG∶GH∶HC=EC∶EC∶EC=5∶3∶12.
例3如图3,在正方形ABCD中,AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC.求PQ∶AC的值.
简解:令AP=1,则PB=3,AB=4.
由勾股定理,得AC=4,PC=5.
易证△PAQ∽△CBP.
∴ =.PQ===.
∴ PQ∶AC=∶4=∶1.