《数列》的教学设计

1 课例解析

数列是一种特殊的函数，是中学数学知识的重要组成部分.它在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，尤其是加深了学生对函数概念的认识，使他们了解到不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数.而学习数列又为后面学习数学归纳法等内容作了铺垫.同时数列还有着非常广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型.如堆放物品总数的计算，产品规格设计的某些问题，储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列知识，从而有助于培养学生的建模能力，发展应用意识.数列还是培养学生数学思维能力的好题材，自始至终贯穿着观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想应用等能力的培养，不仅如此，数列还是对学生进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材.因此学好数列有助于学生数学素养的提高.本节课是《数列》这一章的第一节，是这一章学习的基础，因此非常重要.

2 目标定位

2.1 教学目标

2.1.1 知识与技能目标：形成并掌握数列的概念、表示法、分类；体会数列是一类特殊的函数，能用函数观点理解数列相关知识；理解数列的通项公式,会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式；

2.1.2 过程与方法目标：通过对实际问题探索，培养学生的观察、类比、归纳、概括能力，提高学生直觉思维能力；渗透从特殊到一般、类比与转化的数学思想

2.1.3 情感与价值观目标：培养学生积极参与、大胆探索、敢于创新的思维品质以及合作意识.通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心和热爱生活的情感

2.2 教学重点、难点：

2.2.1 重点：数列的概念，数列的通项公式；

2.2.2 难点：根据数列的前几项，写出数列的通项公式.关键是学会观察前几项的特点，揭示数列的变化规律.

3 方法阐释

课程标准指出数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型.对数列的概念，要求学生通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数.

3.1 教学方法

学习是人对知识的内化过程，只有学生通过自己去发现、思考、揭示数学规律，才能更有效地促进素质和能力的提高.所以我主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法：首先创设情景，抓住知识的切入点，学生情感和思维的兴奋点；再通过探究性问题的设置来启发学生思考，掌握知识链，并在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法；继而通过层层深入的例题配置，巩固加深学生对知识的理解.

3.2 学法指导

高二学生已经具有了一定的观察、归纳能力，因此本节课以问题为载体，以学生活动为主线，有意识地留给学生适度的思考空间，让学生在观察中分析，在类比中发现，在思索中概括，在探究中获取新知，帮助学生逐步形成积极探索、合作交流的学习方式.

4 课堂设计

4.1 创设情境，引入概念

上课伊始，老师借助多媒体讲述故事：有一个叫杰米的人，有一天他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍.杰米说：真的？你说话算数！合同生效了，第一天杰米支出1分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元，到了第十天，杰米共支出10元2角3分，收入100万元，到了第二十天，杰米共支出1048575元，收入200万元，杰米想要是合同定两个月、三个月该多好啊！可从第21天开始，情况发生了变化：第21天杰米支出1万多，收入10万元. 到第28天，杰米支出134万多，收入10万元，结果杰米在31天得到310万元的同时，共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元，杰米破产了！

为什么杰米会破产？很显然的原因：没有学好数学，尤其没有学好我们即将学习的在实际生活中有着广泛应用的这一章——《数列》

(通过多媒体动态演示故事，使学生注意力迅速集中到所学内容上来，并设置悬念，激发学生学习数列的愿望)

4.2 观察归纳，形成概念

教师提出问题1：什么是数列？

①100 000，100 000，100 000，100 000，...,10 000

②1，2，4，8，...230

为了方便学生的理解，再借助多媒体进行几项活动：

切一刀可将一个比萨饼分成2部分；切两刀最多可将比萨饼分成4部分；切三刀最多可将比萨饼分成7部分；… 继续切下去，比萨饼最多被分成的部分可得到一列数

③2，4，7，11，…

④从1984年到2004年我国体育健儿参加6次奥运会获得的金牌数：15，5，16，16，28，32.

⑤场地上堆放了一批钢管，从上往下数有4，5，6，7，8，9，10

⑥场地上堆放了一批钢管，从下往上数有10，9，8，7，6，5，4.

⑦写出π精确到1，0.1，0.01，0.001,…的不足近似值排成一列数：3，3.1，3.14，3.141，…

（培养学生观察、思考的能力.借助多媒体增强学生感性认识.）

教师提出：以上7列数有些什么特征？学生会很快发现：有一定的规律.紧接着教师提出：是有一定规律，这些规律具体的应该怎么说？引导学生发现：次序！

请学生完整说出数列定义：按照一定的次序排列起来的一列数叫数列.

再让学生每一个人举出一个数列的例子，写在草稿纸上.而后教师指出：为研究方便，我们把数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（首项），第2项，第3项，…（总之，这一项排在数列中第几位就叫做数列的第几项）

再让学生每一个人举出一个数列的例子，写在草稿纸上，同桌交流.（概念是逻辑分析的对象，具有丰富意义和内涵，同时又具有直观生动的背景，因此概念课应让学生从概念的原型或实例出发，经历概念的抽象过程，领悟直观和严谨的关系.让学生的学习由感性升华到理性.）

4.3 问题导引，深化概念

问题2： 数列⑤和⑥是否为同一个数列？

在问题2的解决过程中，强调了“次序”，即只有项和次序完全相同的数列才是同一数列.让学生发现：数列和数集的不同：数列中的数有序，而数集中的数无序；数列中的数可以相同，而集合中的数具备互异性.

（在形成概念时，也许会有学生认为数列是有一定规律的数的集合，通过问题2的分析，加深对概念理解，为下面学习排除障碍.）

数列的一般形式可写成：a1,a2,a3,…,a璶,…其中a璶是数列中的第n项，叫做数列的通项，我们常把一般形式的数列记作{a璶}.让学生思考讨论下面两个问题：

问题3：a璶与{a璶}一样吗？

问题4：数列的项与序号之间有无关系？这说明了什么？

学生分组交流，推选一人汇报成果，其他人补充：

由于n是任意正整数，a璶也代表{a璶}的任意项，具有任意性.

根据对a璶的理解，观察数列发现：

每一项的序号n对应着一个项，如数列⑤

项45678910↑↑↑↑↑↑↑序号1234567以前函数也存在着这种对应，即序号集合到另一个数集的映射.从映射、函数观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或他的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.

（数列与函数的关系是本节课的重点，在问题的导引下，让学生在思考交流中领悟知识，突出重点，并让学生注意到数列与函数的特殊与一般的关系.）

教师强调：用函数的观点看数列，其内容会更加丰富多彩.请一位学生回忆函数的研究内容——函数的定义及性质，而后学习了几个特殊的函数，以及函数的应用，

类比函数，你能说出数列的研究历程？数列也是这样：在掌握了数列的概念之后，我们会去研究两个特殊数列，而后应用所学习的数列知识解决问题.

（尝试着让学生运用类比，自己发现将要研究的内容，提高学生的问题意识.）

问题5：类比函数的表示方法，你认为数列常见的表示方法有哪些？

让学生思考、讨论后回答：

1. 列表法（有时也称为列举法）：函数是两行，数列一行即可. 前面的数列，数列的一般形式给出的都是列举法.

2. 图象法；

3. 解析法.

问题6：数列的图象是什么样子？

让学生先在笔记本上画出数列④⑤⑥的图象，并在投影仪展示，让学生观察得出：

由于数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数，因此，它的图象是相应的曲线或直线上的横坐标为正整数的一群孤立的点(n,a璶).

而后再让学生观察三个图象去发现问题，有的学生发现：数列有增有减，由此引出数列的分类：根据a璶+1与a璶的大小关系，我们可以把数列分为：单调递增数列（a璶+1>a璶）、单调递减数列（a璶+1

（自己画图，使学生对数列图象迅速理解，而且所选的三个图象恰好引出数列分类知识，使课堂前后连贯，知识过渡自然.）

数列是特殊的函数，而函数最常见的表示方法是解析法，本节课先研究解析法中的一种：如果数列的第n项a璶与n之间的关系可以用一个函数式a璶=f(n)来表示，这个公式也就是相应的函数的解析式，我们把它叫做这个数列的通项公式.需注意的是：通项公式是解析法表示数列中的一种，下节课还要学习其他的解析法.

（通过设置问题2-6，使学生在思考、讨论、交流中深化了数列概念.）

4.4 典例剖析，应用概念

在研究函数的时候，函数的很多性质常常是通过解析式来研究，那么数列的很多问题自然是通过通项公式来研究，也就是说通项公式在数列中有着非常重要的作用.

例1 根据下面数列{a璶}的通项公式，写出它的前5项：

（1）a璶=nn+1;（2）a璶=(-1)琻·n.

解（1）12，23，34，45，56（2）-1，2-3，4，-5

变式 数列{a璶}，a璶=nn+1，0.96是不是数列中的项，若是，是第几项？0.86呢？

让学生总结例1代表的题型：已知通项公式，可求数列中的任一项，也可以判断某一个数是否是数列中的项，是的话是第几项？提出：数列（2）中项的符号正负相间，是谁起了作用？ 提醒学生注意(-1)琻有调节符号的功能.

（注意解题后反思，从而深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础．）

已知通项公式给数列问题的求解带来很大方便，那么反过来，如何写出数列的一个通项公式，使其前几项刚好是给出的数呢？

例2 写出下列数列的一个通项公式，数列的前五项分别是下列各数：

（1）1,2,3,4,5;

（2）1,3,5,7,9;

（3）1,4,9,16,25;

（4）1,2,4,8,16;

（5）-1,1,-1,1,-1;

（6）9,99,999,9999,99999.

让学生先做，再回答，互相补充.教师提出：你是怎么做的？反思能收获什么？

学生纷纷回答：①通项公式a璶是项与序号n的关系式，因此要写出通项公式我们得观察每一项与序号的关系.教师强调：这种方法就是观察法；②根据前几项写出数列的通项公式，通项公式可能不唯一；③数列的项是有限个还是无限个；④教师强调：以上是基本数列，大家一定要熟知，因为只有知道了它们，我们才能写出较复杂的数列的通项公式，比如：

（7）-11×2,12×3,-13×4,14×5,-15×6,

变式：-12,16,-112,120，-130； -02 ,56,-1112,1920,-2930

让学生说答案，总结方法：有时需要变形，再找项与序号的关系.项为分数时，往往观察项的三个特征：符号特征；分子的独立特征，分母的独立特征，有的题还要借助分子和分母之间的关系

教师提出：已知数列的前几项，用观察法写出数列的一个通项公式应该怎样思考？让学生讨论回答：概括一下主要有2个方面：1.要注意观察数列中项与序号的关系；2.要注意观察数列中项的几大特征如：符号特征；相邻项之间的关系；分子分母的独立特征以及相互关系，然后在此基础上化归一下，联想一下转化为我们已知的，熟悉的数列，而后写出来.

（为了使学生能熟练应用刚学知识，达到巩固提高的效果，设计以上两道例题，用议一议、试一试、做一做、变式训练的形式，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识.并通过及时总结，使学生从会做一个题到会做一类题.）

4.5 归纳反思，提高认识

让学生从知识和方法上总结一下本节课的收获：

1、知识要点：数列的定义；数列的项；数列的通项公式；数列的三种表示方法；数列的分类.

2、数学思想：从特殊到一般以及分类、转化的思想.

3、写出一个通项公式的常用技巧：

（对教学内容归纳、疏理，小结本节课渗透的数学思想方法，便于学生课后复习 .使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）

4.6 布置作业，延伸课堂

1.必做：课本第34页，习题2-1A1—7题

2. 尝试写出本节课引例中的7个数列的通项公式，你又发现了什么？

3. 选作：（1）课本第31页，练习B第3题；

（2）已知函数f(x)=x-1x,设a璶=f(n)(n∈N+)

①求证a璶<1；②数列{a璶}是递增数列还是递减数列？为什么？

4. 查阅有关数列的资料，制作展板.

（学生已经初步掌握了探究数列规律的一般方法，有待进一步提高认知水平，针对学生素质的差异设计了有层次的训练题，留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高.）

5 教有所思

本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开.在教学设计中通过丰富的实例引入概念，鼓励学生动脑、动手、动口，经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获新知和方法，提高数学素养.教学过程中通过环环相扣、设置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善学生的知识结构，使学生整堂课始终处在一种积极的学习状态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得愉快.

另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，反思也是解决问题后自问几个为什么，为下次解决问题获得有用的经验和教训.通过反思可以引导学生不断总结经验教训，真正领悟到数学思想方法，从而优化认知结构，促使学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的.

本节课设计在实施过程中要避免用问题牵着学生走，而是设置情境，让问题呼之欲出，让学生自己发现问题，提出问题进而解决问题.这一点在采用“问题导引，自主探究”这一方式的教学中都应注意.

作者简介韩相河，山东省实验中学数学高级教师，山东省特级教师，山东省首届“齐鲁名师”工程人选.中国数学奥林匹克高级教练员，全国数学竞赛优秀教练员.山东省新长征突击手，山东省骨干教师，山东省优秀青年知识分子，济南专家协会会员，山东省名师研究会常务理事，山东省初等数学研究理事会常务理事，济南市数学会理事.山东省高考阅卷省检查员.济南市青年技术学术带头人，济南十大杰出青年，济南市优秀教师.先后出版著作20余本，并多次担任主编或副主编；有三篇论文在全国或山东省获奖，有两篇论文在国家及刊物上发表，两次获得教育部"中学数学实验教材"领导小组组织的教学优秀奖.

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