“四招”搞定设元法

许生友

列方程解应用题的关键步骤之一就是要能根据题意，巧妙、灵活地设未知数（元），否则就会陷入困境.那么如何才能正确地设出未知数（元）呢？请看许老师教给我们“设元”的几种技巧.

一、直接设元

如果题设中的关系能明显表示出所求的未知量时，可采用直接设元法，即求什么就设什么，这是解应用题的一般方法.

例1一条环形跑道长400米，甲练习自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发，经过多长时间，两人首次相遇？

分析：

本题是行程问题，它有两个相等关系：甲的路程-乙的路程=环形跑道一周的长；甲用的时间=乙用的时间.

解：设经过x分钟两人首次相遇.依题意，得550x-250x=400.解这个方程，得x=4/3.即经过4/3分钟两人首次相遇.

二、间接设元

这种方法是把与所求量有关的量设为未知数x，求出x后，再解原题中所求的量.一般地，如果题目里涉及几个量存在某种数量关系时，多采用间接设元法.

例2某工厂第一季度生产甲、乙两种产品，已知甲种产品的件数是总件数的一半还多148，乙种产品的件数是总件数的1/3还多52，求甲、乙两种产品分别为多少件.

分析：

题设中给定了甲、乙两种产品的件数与总件数的数量关系，甲、乙两种产品的件数受总件数的制约，因此可用间接设元法.

解：设总件数为x，依题意，得

（1/2x+148）+（1/3x+52）=x.解得x=1 200.

故甲种产品的件数为1/2×1 200+148=748，乙种产品的件数为×1 200+52=452.

三、整体设元

对于未知量太多而已知关系又太少的某些应用题，如果在未知量的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个元，这样就减少了设元的个数.

例3有一个六位数，后三位数是857，将这个六位数乘以6以后，得到的新数恰好是原六位数的前三位数与后三位数互换位置，求原六位数.

分析：

本题若直接设原六位数为x，则很难求解，但我们若把前三位数作为一个整体设为未知数x，则原六位数为（1 000x+857），便可以找到解题的突破口.

解：设原六位数的前三位数为x，则原六位数为（1 000x+857）.依题意，得6(1 000x+857)=857×1 000+x.解得x=142.故原六位数为1 000×142+857=142 857.

四、设辅助元

解答某些应用题，直接设出未知数难以列出方程，这时，可以根据具体的情况设出题目中并不要求的其他未知数为辅助未知数.这种“设而不求”的方法有时也称为参数法，它是解答应用题的一个重要方法，对于解数量关系比较复杂或者已知条件较少的应用题十分有效.

例4某种商品的零售价2007年比2006年上涨了25％.欲控制该商品的零售价2008年比2006年只上涨10％，则2008年应比2007年降价的百分率是多少？

分析：

若设2008年应比2007年降价的百分率为x，但2006年或2007年的零售价不知道，因此，无法列方程，所以必须增设辅助未知数.

解：设2006年这种商品的零售价为a元，又设2008年应比2007年降价的百分率为x.则依题意，得a(1+25％)×(1-x)=a(1+10％).解得x=0.12=12％.即2008年应比2007年降价的百分率为12％.

由此看来，未知数的选取还真巧.如何巧设元呢？一般可以这样考虑：

（1）凡是能够用直接设元的方法列出方程的，则通常不用别的方法.

（2）凡是用直接设元的方法分析问题、建立方程有困难的，通常采用间接设元法或设辅助元的方法.

（3）涉及几个量或某种比的应用题和涉及两位、三位或多位及各个数位上的数的关系的应用题时，多采用间接设元的方法.

（4）凡涉及与已知量和未知量关系比较密切，但又不必求出结果的量，为便于列方程，可选择设辅助元的方法.

同学们想要掌握其中的奥秘，还要多分析，多演练，才能逐渐摸索出巧设元的规律来.