列二元一次方程组解决几何图殂问题

刘　顿

我们知道，二元一次方程组在实际生活中有极为广泛的应用，真是生活中处处有数学啊.

例1用8块相同的长方形地砖拼成一块长方形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图1所示，求每块地砖的长与宽.

分析：要求每块地砖的长与宽，由于这8块长方形地砖的大小是相同的，由题目提供的几何图形来看，大长方形的对边相等，所以有这样两个等量关系：一是一个小长方形的宽与一个小长方形的长的和为60 cm，二是2个小长方形的长等于一个小长方形的长与3个小长方形的宽的和.这样设出未知数，即可列二元一次方程组求解.

解：设每块地砖的长为x cm，宽为y cm，则根据题意，得x+y=60，

2x=x+3y.解得x=45，

y=15.

即每块地砖的长为45 cm，宽为15 cm.

说明：本题的等量关系都隐含在图形中，所以掌握几何图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键.

例2小明在拼图时，发现8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图2所示，小红看见了，说：“我来试一试！”结果小红七拼八凑，拼成了如图3所示的正方形，不过中间还留下一个洞，恰好是边长为2 mm的小正方形!你能算出每个小长方形的长和宽分别是多少吗？

分析：本题有两个未知量，即小长方形的长与宽.观察图形得到两个等量关系：由图2得，长的3倍等于宽的5倍；由图3得，长的2倍+2 mm＝长+宽的2倍.于是根据这两个等量关系即可列出方程组求解.

解：设小长方形的长为x mm，宽为y mm.则根据题意，得3x=5y，

2x+2=x+2y.解得x=10，

y=6.

答：这些小长方形的长为10 mm，宽为6 mm.

说明：本题巧妙地运用了两个拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，它体现了数与形之间的相互关系，突破了用语言描述两个量之间关系的常规方法，渗透了数形结合的数学思想.

例3扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的展开图如图4所示.如果长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积.

分析：若能求出药品包装盒的长、宽、高，就易得药品包装盒的体积.所以本题可间接设未知数.

解：设这种药品包装盒的宽为x cm，高为y cm，所以长为（x+4） cm.

则根据题意，得2x+2y=14，

（x+4）+2y=13.解得x=5，

y=2.

所以x+4＝9.故体积V＝9×5×2＝90（cm3）.

答：这种药品包装盒的体积为90 cm3.

说明：在求解本题时，要从图形出发，发挥空间想象力，即由药品包装盒的展开图想象出实物的模型，从而实现实物与展开图之间的转化，使问题简单获解.

例4如图5，某纸盒加工厂用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片来制作甲、乙两种无盖的长方体小盒，其中长方形的宽与正方形的边长相等.现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，如果恰好用完，可以分别做成甲、乙两种小盒多少个？

分析：通过分析题意，可以发现题目中有两个等量关系：一是做一个甲种小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片；二是做一个乙种小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片.这样若设做甲种小盒x个，乙种小盒y个，即可列出二元一次方程组求解.

解：设可以做成甲种小盒x个，乙种小盒y个，则根据题意，得4x+3y=300，

x+2y=150.

解得x=30，

y=60.

答：可做甲种小盒30个，乙种小盒60个.

说明：本题的等量关系隐含在图形中，解决问题需要认真观察图形，从图形中发现解题信息.

例5如图6，正方形是由k个相同的小长方形组成，上下各有2个水平放置的小长方形，中间竖放若干个小长方形，则k＝.

分析：要想直接求出k的值，还真的有点难度，但考虑到正方形的对边相等，所以若设每个小长方形的长为x，宽为y，于是根据对边相等，即可找出两个相等的关系式.

解：设每个小长方形的长为x，宽为y，则根据题意，得2x=x+2y，

2x=（k-4）y.

由2x＝x+2y，得x＝2y，代入2x＝（k－4）y，得4y＝（k－4）y，解得k＝8.

说明：解答本题并没有直接求小长方形的边长，但通过设出小长方形的长和宽构造方程组，借助方程组来确定k的值，这里的x、y叫做辅助未知数.设辅助未知数法是一种重要的思想方法.

综上所述，运用列二元一次方程组解决有关几何图形的问题时，要学会看图与识图，充分发挥数形结合的作用，仔细分析图形中隐含的等量关系，再构造出方程组求解.