不以规矩 不成方圆

2008-07-11 10:18张文韬
关键词:作法直尺所求

张文韬

你知道“不以规矩,不成方圆”吗?

规,指的是圆规;矩,指的是直尺.有了它们,就能作出许多美丽的图形,比如图1中的五角星和太极图.

尺规作图时,用直尺和圆规的次数有限制,甚至直尺连刻度都不要.

[问题与情境]

尺规作图起源于古希腊.为什么只准用圆规和没有刻度的直尺作图,并且只准用有限次呢?

原来,古希腊数学倡导条件包括作图工具尽量少,而推出的结论则尽量多.希腊是奥林匹克的发源地,奥运会项目都有种种规则及器械的限制,以求“更快、更高、更强”,这与数学中约束作图工具意义相同.

如何约束?毕达哥拉斯学派认为,直线和圆是最基本的几何图形,有了尺规,思维、操作就能比试.于是,几何学上用公设的形式规定尺规作图,沿用至今.

作图的每一步都得循规蹈矩(又提到规、矩),确保所求作图形的正确性.下面以“作一条线段等于已知线段”为例来看看尺规作图的过程和方法.

已知:线段AB(图2).

求作:线段A′B′,使A′B′=AB.

作法(不要求写出):

(1)如图3,作射线A′C′;

(2)以点A′为圆心,以AB长为半径画弧,交射线A′C′于点B′(如图4). A′B′就是所求作的线段.

证明略(证明所求作图形的正确性,一般不必写出来).

作图务必保留作图痕迹,因为它既反映作法也便于观察过程.痕迹建议画轻一点、淡一点.

[开眼界]

用尺规可以四等分圆,这时候,四等分圆与作正方形是一回事.如果只用圆规,又怎么四等分已知圆心的圆呢?

这个问题出自大名鼎鼎的军事家拿破仑.驰骋疆场的间隙,他对尺规作图如痴如醉.

拿破仑是这样来作的:既然知道圆心(记作O),那么以圆上任意一点A为圆心,以OA长为半径画弧,得到点B;又以点B为圆心、以OA长为半径画弧,得到点C;再以点C为圆心、以OA长为半径画弧,得到点D.接着,分别以点A、D为圆心,以AC长为半径画弧,两弧交于点P.然后以圆上任意一点为圆心,以OP长为半径,照前面一样画弧,就能把圆四等分.连直尺都不要,是不是很奇妙?

正方形作出来了,正五边形、正六边形也作出来了,没想到作正七边形却让数学家束手无策,成为几何四大名题之一.后来阿基米德证明了正七边形根本不可能用尺规作出.是不是只要边数为大于5的质数的正多边形就作不出呢?1796年,年仅19岁的高斯却作出了正十七边形,进而攻克了“哪种正多边形能用尺规作出”这个2 000年里一直悬而未决的难题,震撼了整个数学界.

[经典例析]

例1 已知:线段a、b(a > b)(如图5).

求作:线段AB,使AB = a - b.

一般的刻度尺、三角板,只要不用来度量长度,都可以视为直尺.

作法:①作射线AD;

②在射线AD上截取AC = a;

③在线段CA上截取CB = b.

线段AB就是所求作的线段(如图6).

作图过程未必都简单,因而作法的重要性并不亚于所求作的图形(尽管不要求写出,但会口述还是有必要的,这也有助于形成思维的条理性和全面性).

例2已知:∠AOB(如图7).

求作:∠A′O′B′,使A′O′B′=2∠AOB.

关键在于确定所求作的角的终边位置.

作法(1):①作射线O′A′;

②以点O为圆心,以任意长为半径画弧,分别交OA、OB于点C、D;

③以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;

④以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交第③步中所画弧于D′;

⑤以点D′为圆心,以CD长为半径画弧,交第③步中所画弧于E′;

⑥过点E′作射线O′B′.

∠A′O′B′就是所求作的角.(如图8)

作法(2):①以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点A′,交OB于点C;

②以点C为圆心,以A′C长为半径画弧,交前弧于点B′;

③过点B′作射线OB′.

∠A′OB′就是所求作的角.(如图9)

试着找出两种作法的内在联系,使作图简单明了.

例3已知:线段a、b和∠α(如图10).

求作:△ABC,使AB = a,AC = b,∠A=∠α.

打开思路的同时,也要注意作图的合理性和可能性.

作法:①作∠DAE=∠α;

②在射线AD、AE上截取AB = a、AC = b;

③连接BC.

△ABC就是所求作的三角形.(如图11)

对于较复杂的作图,不必写出其中作线段和角等基本作图的细节,简单概括即可.

例4已知:∠1、∠2(如图12).求作:

(1)∠AOB,使∠AOB = ∠1 + ∠2;

(2)∠COD = 2∠1 - ∠2.

涉及复杂作图时可考虑先画一个草图,以免出错.

作法:(1)①作∠AOC = ∠1;

②以OC为一边,在∠AOC的外部作∠BOC = ∠2.

∠AOB就是所求作的角.(如图13)

(2)①作∠COE = 2∠1;

②以OE为一边,在∠COE的内部作∠DOE = ∠2.

∠COD就是所求作的角.(如图14)

弄清所求作的角应在先作的角的内部还是外部.两个角相加,后作的角要作在先作的角的外部;两个角相减,后作的角要作在先作的角的内部,并要指明以哪条边为一边.

[即学即练]

1. 已知:线段a、b,如图15.求作:

(1)线段AB,使AB = a + 2b;

(2)线段CD,使CD = 2a - b.

2. 利用尺规,按下列步骤作图:

①作线段AB;

②以点A为圆心,以AB长为半径画弧;

③以点B为圆心,以AB长为半径画弧,与前弧在AB上方交于点C;

④连接AC、BC.

作出的是什么图形?

3. 已知:线段AB、∠α和∠β,如图16.

求作:∠CAB = ∠α,∠CBA = ∠β.

4. 已知:∠1、∠2(∠1<∠2),如图17.求作:

(1)∠AOB,使∠AOB = ∠2 - ∠1;

(2)∠AOB,使∠AOB = 180° - (∠1 + ∠2).

[中考风向标]

1.(2002年·南宁市)如图18,打台球时,用白球沿着虚线方向击打黑球,已知反射角等于入射角,请问黑球经过一次反弹后是否会进入F号洞?请你利用尺规作图来判断.(保留作图痕迹,不必证明)

本题在考查作角上别有一番新意,关键是理解“反射角等于入射角”.

解:将白球与黑球看做两点,过这两点作直线交台球桌边缘BC于点M,过M作直线MN⊥AC,在MN右侧作∠F′MN=∠PMN.因为射线MF′过F号洞,所以黑球经过一次反弹后会进入F号洞.

击球入洞需要对杆的角度进行恰到好处的估算,其实质是对几何角度的估算.

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