不以规矩 不成方圆

张文韬

你知道“不以规矩，不成方圆”吗？

规，指的是圆规；矩，指的是直尺．有了它们，就能作出许多美丽的图形，比如图1中的五角星和太极图．

尺规作图时，用直尺和圆规的次数有限制，甚至直尺连刻度都不要．

[问题与情境]

尺规作图起源于古希腊．为什么只准用圆规和没有刻度的直尺作图，并且只准用有限次呢？

原来，古希腊数学倡导条件包括作图工具尽量少，而推出的结论则尽量多．希腊是奥林匹克的发源地，奥运会项目都有种种规则及器械的限制，以求“更快、更高、更强”，这与数学中约束作图工具意义相同．

如何约束？毕达哥拉斯学派认为，直线和圆是最基本的几何图形，有了尺规，思维、操作就能比试．于是，几何学上用公设的形式规定尺规作图，沿用至今．

作图的每一步都得循规蹈矩（又提到规、矩），确保所求作图形的正确性．下面以“作一条线段等于已知线段”为例来看看尺规作图的过程和方法．

已知：线段AB（图2）．

求作：线段A′B′，使A′B′＝AB．

作法（不要求写出）：

（1）如图3，作射线A′C′；

（2）以点A′为圆心，以AB长为半径画弧，交射线A′C′于点B′（如图4）． A′B′就是所求作的线段．

证明略（证明所求作图形的正确性，一般不必写出来）．

作图务必保留作图痕迹，因为它既反映作法也便于观察过程．痕迹建议画轻一点、淡一点．

[开眼界]

用尺规可以四等分圆，这时候，四等分圆与作正方形是一回事．如果只用圆规，又怎么四等分已知圆心的圆呢？

这个问题出自大名鼎鼎的军事家拿破仑．驰骋疆场的间隙，他对尺规作图如痴如醉．

拿破仑是这样来作的：既然知道圆心（记作O），那么以圆上任意一点A为圆心，以OA长为半径画弧，得到点B；又以点B为圆心、以OA长为半径画弧，得到点C；再以点C为圆心、以OA长为半径画弧，得到点D．接着，分别以点A、D为圆心，以AC长为半径画弧，两弧交于点P．然后以圆上任意一点为圆心，以OP长为半径，照前面一样画弧，就能把圆四等分．连直尺都不要，是不是很奇妙？

正方形作出来了，正五边形、正六边形也作出来了，没想到作正七边形却让数学家束手无策，成为几何四大名题之一．后来阿基米德证明了正七边形根本不可能用尺规作出．是不是只要边数为大于5的质数的正多边形就作不出呢？1796年，年仅19岁的高斯却作出了正十七边形，进而攻克了“哪种正多边形能用尺规作出”这个2 000年里一直悬而未决的难题，震撼了整个数学界．

[经典例析]

例1 已知：线段a、b（a ＞ b）（如图5）．

求作：线段AB，使AB ＝ a － b．

一般的刻度尺、三角板，只要不用来度量长度，都可以视为直尺．

作法：①作射线AD；

②在射线AD上截取AC ＝ a；

③在线段CA上截取CB ＝ b．

线段AB就是所求作的线段（如图6）．

作图过程未必都简单，因而作法的重要性并不亚于所求作的图形（尽管不要求写出，但会口述还是有必要的，这也有助于形成思维的条理性和全面性）．

例2已知：∠AOB（如图7）．

求作：∠A′O′B′，使A′O′B′＝2∠AOB．

关键在于确定所求作的角的终边位置．

作法（1）：①作射线O′A′；

②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

③以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

④以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交第③步中所画弧于D′；

⑤以点D′为圆心，以CD长为半径画弧，交第③步中所画弧于E′；

⑥过点E′作射线O′B′．

∠A′O′B′就是所求作的角．（如图8）

作法（2）：①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；

②以点C为圆心，以A′C长为半径画弧，交前弧于点B′；

③过点B′作射线OB′．

∠A′OB′就是所求作的角．（如图9）

试着找出两种作法的内在联系，使作图简单明了．

例3已知：线段a、b和∠α（如图10）．

求作：△ABC，使AB ＝ a，AC ＝ b，∠A＝∠α．

打开思路的同时，也要注意作图的合理性和可能性．

作法：①作∠DAE＝∠α；

②在射线AD、AE上截取AB ＝ a、AC ＝ b；

③连接BC．

△ABC就是所求作的三角形．（如图11）

对于较复杂的作图，不必写出其中作线段和角等基本作图的细节，简单概括即可．

例4已知：∠1、∠2（如图12）．求作：

（1）∠AOB，使∠AOB ＝ ∠1 ＋ ∠2；

（2）∠COD ＝ 2∠1 － ∠2．

涉及复杂作图时可考虑先画一个草图，以免出错．

作法：（1）①作∠AOC ＝ ∠1；

②以OC为一边，在∠AOC的外部作∠BOC ＝ ∠2．

∠AOB就是所求作的角．（如图13）

（2）①作∠COE ＝ 2∠1；

②以OE为一边，在∠COE的内部作∠DOE ＝ ∠2．

∠COD就是所求作的角．（如图14）

弄清所求作的角应在先作的角的内部还是外部．两个角相加，后作的角要作在先作的角的外部；两个角相减，后作的角要作在先作的角的内部，并要指明以哪条边为一边．

[即学即练]

1． 已知：线段a、b，如图15．求作：

（1）线段AB，使AB ＝ a ＋ 2b；

（2）线段CD，使CD ＝ 2a － b．

2． 利用尺规，按下列步骤作图：

①作线段AB；

②以点A为圆心，以AB长为半径画弧；

③以点B为圆心，以AB长为半径画弧，与前弧在AB上方交于点C；

④连接AC、BC．

作出的是什么图形？

3． 已知：线段AB、∠α和∠β，如图16．

求作：∠CAB ＝ ∠α，∠CBA ＝ ∠β．

4． 已知：∠1、∠2（∠1＜∠2），如图17．求作：

（1）∠AOB，使∠AOB ＝ ∠2 － ∠1；

（2）∠AOB，使∠AOB ＝ 180° － （∠1 ＋ ∠2）．

[中考风向标]

1．（2002年·南宁市）如图18，打台球时，用白球沿着虚线方向击打黑球，已知反射角等于入射角，请问黑球经过一次反弹后是否会进入F号洞？请你利用尺规作图来判断．（保留作图痕迹，不必证明）

本题在考查作角上别有一番新意，关键是理解“反射角等于入射角”．

解：将白球与黑球看做两点，过这两点作直线交台球桌边缘BC于点M，过M作直线MN⊥AC，在MN右侧作∠F′MN＝∠PMN．因为射线MF′过F号洞，所以黑球经过一次反弹后会进入F号洞．

击球入洞需要对杆的角度进行恰到好处的估算，其实质是对几何角度的估算．

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