何春华
同学们,你们对平行线一定不陌生吧!因为在现实生活中随处可见它的身影:火车的车轨、棋盘上的横线与竖线、学校操场上的双杠等. 这些都可以看做平行线. 生活中我们还需要思考这些问题:城市主干道上的分道线互相平行,怎样才能够画出来呢?棋盘上横线间及竖线间要互相平行,我们怎样才能知道它制作得是否合格呢?带着这些问题我们来看下面的具体实例.
[问题与情境]
星期天,乐乐和明明来到郊外的一条河边,他们想测量一下他们所处位置的河岸是否平行. 他们各拿来了一个测角仪和两根标杆.请问:就现有的条件,乐乐和明明能否判断河岸是否平行?说说你的方案.
聪明的乐乐想出一个好办法.他是这样做的:通过目测使4个标杆在一条直线上(如图1),4根标杆分别立在A、B、C、D所在的位置. 再用测角仪分别测出∠ABE和∠DCM的大小.若∠ABE + ∠DCM = 180°,则EF∥MN;若∠ABE + ∠DCM ≠ 180°,则EF、MN 不平行.
这里其实用到了直线平行的条件:由∠ABE + ∠DCM = 180°,可得∠EBC + ∠MCB = 180°,从而由“同旁内角互补,两直线平行”判断出河的两岸互相平行.
[开眼界]
1. 同位角、内错角、同旁内角的概念
(1) 同位角:在两条直线a、b的同方向,在第三条直线c的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角.如图2中,同位角有∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8.
(2)内错角:在两条直线a、b的内侧,在第三条直线c的两旁,这样的一对角叫做内错角. 如图2中,∠3和∠5、∠4和∠6都是内错角.
(3)同旁内角:在两条直线a、b的内侧,在第三条直线c的同旁,这样的一对角叫做同旁内角. 如图2中,∠4和∠5、∠3和∠6都是同旁内角.
温馨提示: 对于较复杂的图形,一般可采用如下方法区分角的关系.①把相关的一对角的边用其他色笔或粗线条描出,这有助于分辨这对角的关系. ②在图形中构成同位角的基本图形形如字母“F”,如图3(1);构成内错角的基本图形形如字母“Z”或“N”,如图3(2);构成同旁内角的基本图形形如字母“U”,或叫“开口形”,如图3(3).
2. 直线平行的三个基本条件
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行,即“同位角相等,两直线平行”. 如图4,若∠1 = ∠5(或∠2 = ∠6或∠3 = ∠7或∠4 = ∠8),则a∥b.
(2)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,即“内错角相等,两直线平行”.如图4,若∠2 = ∠8(或∠3 = ∠5),则a∥b.
(3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行,即“同旁内角互补,两直线平行”. 如图4,若∠2 + ∠5 = 180°(或∠3 + ∠8 = 180°),则a ∥ b.
3. 直线平行的其他条件
(1)平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.如图5,a⊥c,b⊥c,则a∥b.
[经典例析]
例1如图6,已知直线l1、l2被直线l3所截,若∠1 + ∠4 = 180°,试说明l1∥l2.
点拨:不妨从同位角、内错角、同旁内角三个不同的角度出发进行探索.
解法(1): ∵ ∠1 + ∠4 = 180°,(已知)
∠4 + ∠5 = 180°,(平角定义)
∴ ∠1 = ∠5,(等量代换)
∴ l1∥ l2.(同位角相等,两直线平行)
解法(2): ∵ ∠1 + ∠4 = 180°,(已知)
∠1 + ∠2 = 180°,(平角定义)
∴ ∠2 = ∠4.(等角的补角相等)
∴ l1∥l2.(内错角相等,两直线平行)
解法(3): ∵ ∠1 + ∠4 = 180°,(已知)
∠1 = ∠3,(对顶角相等)
∴ ∠3 + ∠4 = 180°.(等量代换)
∴ l1 ∥ l2.(同旁内角互补,两直线平行)
本例通过从不同的角度证明同位角相等、内错角相等及同旁内角互补来说明两条直线平行,方法灵活,对我们开阔思路、提高解题能力大有裨益.
例2 如图7,已知∠BED = ∠B + ∠D,试说明AB与CD的位置关系.
点拨:由已知条件无法判断AB与CD的位置关系,需构造应用平行线判定方法的条件. 因此,过E作∠BEF = ∠B,则AB∥EF.由已知可得∠FED=∠D,则CD∥EF.由平行公理可得AB∥CD.
解:AB∥CD.理由如下:
过E作∠BEF = ∠B,则AB∥EF.(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠BED = ∠BEF + ∠FED = ∠B + ∠D,
∴ ∠FED = ∠D.
∴ CD∥EF. (内错角相等,两直线平行)
∴ AB∥CD.(平行于同一条直线的两直线平行)
当题目现有的条件不能解决问题时,可考虑作辅助线,辅助线常用虚线表示.
[即学即练]
1. 如图8,∠1和[ ]是同位角,∠1和[ ]是内错角,∠1和[ ]是同旁内角.
2. 如图9,如果∠1=[ ],那么DE∥AC;如果∠1=[ ],那么EF∥BC;如果∠FED + [ ] = 180°,那么AC∥ED;如果∠2+[ ]=180°,那么AB∥DF.
3. 如图10,由[ ](填上一个合适的条件),可得BC∥DE.
4. 如图11,A、B两地之间有一座山,一条铁路要通过A、B两地,在A地测得∠MAB = 75°.如果A、B两地同时开工,那么B地按∠NBA的度数为[ ]施工可使铁路在山腹中准确接通.
5. 如图12,下列推断错误的是().
A. 因为∠1 = ∠2,所以 l3∥l4B. 因为∠3 = ∠4,所以l3∥l4
C. 因为∠1 = ∠3,所以l3∥l4D. 因为∠2 = ∠3,所以l1∥l2
6. 如图13,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过. 如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C等于().
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
7. 如图14,在屋架上要加一根横梁DE,若∠ABC = 35°,那么∠ADE应该为多少度才能使DE∥BC?为什么?
8. 如图15,已知∠1 = 40°,∠2 = 55°,∠3 = 85°,那么直线l1与l2是否平行?为什么?
9. 如图16,已知∠ABC = ∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,那么EC与DF有什么位置关系?试说明你的理由.
10.如图17,已知CB⊥AB,点E在AB上,且CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,∠EDC + ∠DCE = 90°. 试说明:DA⊥AB.
[中考风向标]
1. (2006年·天门市)如图18,直线a、b被直线c所截,现给出下列4个条件:①∠1 = ∠5;②∠1 = ∠7;③∠2 +∠3 = 180°;④∠4 = ∠7.其中能说明a∥b的条件为().
A. ①② B. ②
C. ①④ D. ①②④
因为∠1与∠5是同位角,故有∠1=∠5时a∥b,①符合条件;因为∠1=∠7,又∠7=∠5,所以∠1=∠5,所以a∥b,②符合条件;条件③中,∠2与∠3是邻补角,不能判定两直线平行;条件④中,因为∠5 = ∠7,只有当∠4 +∠5 = ∠4 + ∠7 = 180°时,才能判定两条直线平行,所以④不符合条件. 故选A.
2. (2007年·淮安市)如图19,能判定EB∥AC的条件是().
A.∠C = ∠ABE B.∠A = ∠EBD
C.∠C = ∠ABC D.∠A = ∠ABE
选D,利用内错角相等,两直线平行.
本节内容在中考中主要以考查基础知识为主. 主要考查利用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线平行,以填空题和选择题的形式为主.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”