多姿多彩的平行四边形折叠问题

康海芯

折叠问题是操作与运算相结合的问题，它可以产生许多美丽的图案.通过这类问题还可以探究图形存在的某些内在的规律，并进行有关计算.解决折叠问题的关键，是根据轴对称的性质，弄清折叠前后哪些量变化了、哪些量没有变，弄清折叠前后哪些条件可以利用.本文将以中考题为例，谈谈平行四边形折叠问题的类型和解法，供同学们参考.

[一][平行四边形的折叠]

例1（2007年·长春）如图1，将平行四边形纸条ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在A′、B′处，线段FB′与AD交于点M．

（1）试判断△MEF的形状，并证明你的结论．

（2）如图2，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C′、D′处，且使MD′经过点F.试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论．

（3）当∠BFE=_____时，四边形MNFE是菱形．

解析：（1）△MEF为等腰三角形，利用“∠MFE=∠BFE=∠MEF”来证明即可.（2）四边形MNFE是平行四边形，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明就可以.与（1）同理，可证△FMN也为等腰三角形.从而ME=MF=NF.或利用两等腰三角形顶角相等则底角也相等来证明（因AD∥BC，∠EMF=∠MFN，故∠FMN=∠MFE）.（3）若四边形MNFE是菱形，则∠EFM=∠NFM，又∠EFM=∠EFB，且∠EFM+∠NFM+∠EFB=180°，所以∠BFE=60°．

评注：解结论探究型题时，要善于根据图形和已知条件，先由观察直观得出一些结论.

[二][矩形的折叠]

例2（2006年·郴州）如图3，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a

（1）猜想两折痕PQ、MN之间的位置关系，并加以证明．

（2）如图6，若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°.每次翻折后，非重叠部分的四边形C′QDM及四边形BPA′N的周长与a、b有何关系？为什么？

解析：（1）观察图5，可以猜想PQ∥MN，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明.

因为AD∥BC，所以∠AMP=∠MPC，由翻折可得：∠MPQ=∠1/2MPC，∠NMP=∠1/2AMP，所以∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．

（2）当∠QPC=45°时，易知四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM则是矩形．因为C′Q=CQ，故C′Q+QD=a，所以矩形C′QDM的周长为2a．

同理可知矩形BPA′N的周长为2a.所以两个四边形的周长都为2a，与b无关.

评注：和矩形有关的折叠问题是中考的一个热点，解题时，通常根据轴对称及矩形的有关性质，将条件或结论转移到三角形中.

[三][菱形的折叠]

例3（2007年·赣州）在菱形ABCD中，已知∠B=45°，AE是BC上的高.将△ABE沿着AE所在的直线翻折，得△AB′E，如图7. AB′交CD于F.

（1）请你判断△AFD的形状，并说明理由.

（2）若菱形边长为2，试求△AB′E与四边形AECD的重叠部分AECF的面积.

解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B=45°，

∴∠BAD=∠BCD=135°.

∵△ABE与△AB′E关于AE对称，且∠BAE=45°，

∴∠BAB′=90°.

∴∠FAD=∠BAD-∠BAB′=135°-90°=45°.

又∠D=45°，故△AFD是等腰直角三角形.

（2）∵△ADF与△ABE都是等腰直角三角形，AB=AD，

∴△ADF≌△ABE.