多角度地深化四边形的知识

作者简介 陈德前，江苏省特级教师，江苏省兴化市教育局教研室副主任，中国管理科学研究院学术委员会特约研究员，江苏省考试研究会会员，江苏省教育学会中学数学教育专业委员会委员，泰州市教育学会数学教育委员会委员，泰州市人民政府兼职督学，泰州市数理化学会会员，泰州市教育学会副秘书长.

《四边形》一章的知识点比较多，应用也比较广泛，许多内容容易混淆.要学好这一章，多角度地深化知识是关键.我们可以从以下几个方面去深化理解本章的知识点.

[一][从知识结构的角度深化]

本章的知识结构具有层次性，体现了特殊与一般的关系，理清它们之间的关系是学好本章知识的关键之一．

例1（2007年·杭州）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，图1表示了在某种条件下它们之间的关系．已知①、②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行.那么，请你标上其他6个数字序号相对应的条件．

解析：本题考查对《四边形》一章知识结构的掌握情况.只有对本章知识有一个全面的了解，才能正确解答．要注意掌握每个特殊四边形的特点，尤其是弄清矩形、菱形、正方形之间的区别和联系.答案为：③有一个内角为直角；④一组邻边相等；⑤一组邻边相等；⑥有一个内角为直角；⑦两腰相等；⑧一条腰垂直于底边．

[二][从构造反例的角度深化]

例2已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.从“①AB∥CD，②AB=CD，③AD∥BC，④AD=BC，⑤∠A=∠C，⑥∠B=∠D，⑦AO=CO，⑧BO=DO，⑨∠A=∠B，⑩∠B=∠C”中任取两个加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有______（用代号填空）.

解析：能推出四边形ABCD是平行四边形的有：①、②，①、③，①、⑤，①、⑥，②、④，③、④，③、⑤，③、⑥，⑤、⑥，⑤、⑧，⑥、⑦，⑦、⑧．而由②、⑤或②、⑥（即一组对边相等，一组对角相等）不能推出四边形ABCD是平行四边形.可构造反例如下：如图2（1），在△ABC中，AB=BC，D为AC上的一点，连接BD.将△ABC沿BD剪开，然后将△BDC反转，使△BDC的顶点B、D分别与△ABD的顶点D、B重合，得到图2（2）.显然，四边形ABCD满足AB=CD，∠A=∠C，但四边形ABCD不是平行四边形．

[三][从一题多解的角度深化]

平行四边形的性质和判定方法较多，容易混淆.采用一题多解的方法，不仅可以巩固知识，而且能提高解题能力.

例3如图3，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.试说明：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形．

解析：由SAS不难证得（1）.本题（2）的说明方法较多，可用两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等等来说明．读者不妨自己试试.

评注：通过多种解法，不但使我们全面掌握了平行四边形的性质和判定，又使我们学会了各种解题方法.平时做完题后，要想想还有没有其他解法，并尝试着找出多种解法，这是非常有益的.

[四][从思想方法的角度深化]

四边形与平行四边形、梯形，以及平行四边形与矩形、菱形、正方形，都体现了一般与特殊的关系.将梯形分割成三角形和平行四边形（包括特殊的平行四边形），体现了转化思想．下面通过一题多解，谈谈将梯形转化为三角形和平行四边形的常用方法．

例4如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥CD，且∠C=60°.若AD=5 cm，求梯形的腰长．

转化方法1：元素转化

解法1：∵BD⊥CD，∠C=60°，∴∠CBD=30°．

在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠C=60°，故∠ABD=∠CBD=30°．

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD．∴∠ABD=∠ADB．

从而AB=AD=5 cm．

转化方法2：作高转化

解法2：如图5，过D点作DE⊥BC，垂足为E．在Rt△CDE中，∠CDE=30°，CE=1/2CD．又CE=（BC-AD），故CD=BC-AD．即BC=CD+AD．又在Rt△BCD中，∠CBD=30°，所以CD=1/2BC，BC=2CD．故2CD=CD+AD．则CD=AD=5 cm．

转化方法3：平移对角线转化

解法3：如图6，连接AC，过D作DE∥AC交BC的延长线于E.易知四边形ACED是平行四边形，DE=AC=BD．因BD⊥CD，∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，∠E=∠CBD=30°.而∠CDE=180°-∠E-∠DCE=30°，故CD=CE=AD=5 cm．

评注：将梯形转化为三角形和平行四边形的方法较多，在解题中要针对题目的特点灵活选用．