探究２００７年全国高中数学联赛加试第三题的命制过程

徐章韬　杨　刚

2007年全国高中数学联赛加试第三题：

设集合P={1，2，3，4，5}.对任意k∈P和正整数m,记f(m,k)=∑5i=1[mk+1i+1],其中[a]表示不大于a的最大整数，求证：对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n.

我们通过考察一个有序的问题序列，看出这道试题的实质是把给定的数集中的数按一定的方式排出顺序，从而便于比较集合的势，从而也看清楚了该题的命制过程.

问题1 有形如mk+1(m∈N*,k∈｛1,2,3,4,5｝)的数，试把它们逐一写出来.

这个数集是个无限集，要不重不漏地写出所有的数来，必须遵循一定的原则.可以按下列方式写成数阵的形式.

这个数阵的特点是，每一行从左到右都是从小到大排列，每一列从上到下都是从小到大排列.按这种方式可以不重不漏地把所有的数都写出来.

问题2 把上述数按从小到大的顺序排列成一列，问63是第几个数？

因为82>63>72,所以63之前且形如m2的数有7个.同理，在63之前且形如m3的数有6个（包括63本身），形如m4的数有5个，形如m5的数有4个，形如m6的数有4个，所以63是第7+6+5+4+4=26个数.

问题3 把上述数按从小到大的顺序排列成一列，问m3是第几个数？

显然，再不能用数数的方法了.一般性寓于特殊性之中，分析问题２的解决思路就行了.注意到７，6，5，4，4分别依次出在72，63，54，45，46中，也分别代表了不同形式且小于等于63的数的个数.怎样把7，6，5，4，4从中分离出来呢？只要依次分别除以2，3，4，5，6即可，虽然这样做是可以的，但还要涉及除63以外的其它数，如72，4，45，46等.如何用含

mk+1是数阵中的第n个数，换言之，任意的n均可表示成形如∑5i=1[mk+1i+1]的形式.

全国高中数学联赛加试第三题本质就在于此，只不过更加形式化，不把相关式子赋与一定的意义就看不清实质.这道题蕴涵了把数集有序排列的思想，这是比较两个集合的势的大小的基础，对中学生而言难度不小.通过研究试题的命制看出了问题的来龙去脉及实质，从而化解问题的难度，解决了问题.解题与命题是一对矛盾，在教学中不妨试着站在命题者的角度想一想，这样即使是高深的竞赛试题，也能“飞入平常百姓家”.

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