“或”命题的困惑之解惑

吕秀英　吕俊平

湖北省阳新县高级中学 (435200)

江苏省无锡市梅梁中学 (214092)

1.问题的提出

笔者曾在教辅资料中遇见不少关于“或”命题的矛盾说法.现在，文［1］指出对教辅资料或数学杂志上常见的如下两个命题的不同说法及困惑：

(1)4的平方根是2或-2；

(2)实数的平方是正数或0.

文［2］认为命题(1)是复合命题，即p或q形式，p:4的平方根可能是2；q：4的平方根可能是-2.于是p真q真，p或q亦真.

文［3］认为命题(1)从实质出发可写为“4的一个平方根是2或4的一个平方根是-2”.

困惑：如果“4的平方根是2或-2”是复合命题，那么如何理解构成复合命题“p或q”的原命题中是怎样省略“可能”、“一个”等词的?

文［2］仍然认为命题(2)是复合命题，理由同上，由p、q构成的“p或q”中，“可能”一词因省略而成.

文［4］称命题(2)为复合命题，是为了简易逻辑中的称呼相一致(意即这里“或”为逻辑联结词)，并指出：它不是由“所有”对“或”分配而来的，因为它可以写成如下的形式：“一部分实数的平方大于0或一部分实数的平方等于0”.

文［5］指出命题(2)是简单命题，不是复合命题，处理方法是回到最原始的命题定义中去，把语句中的“正数或0”看成整体.

困惑：同一问题，不同的观点得到不同的结果，真是众说纷纭，作为一名中学数学教师如何给自己的学生真实可信的答案?命题(1)，(2)是简单命题还是复合命题，有一个客观直接的方法判断吗?

2.问题的剖析

事实上，在文［2］、［3］、［4］、［5］几种观点中，笔者认为［5］的说法是真实可信的答案，现分析如下：

第一，对于“或”命题是否为复合命题，应考虑原命题中的“或”是否为逻辑联结词，我们不能一见“或”就以为含逻辑联结词而认为是复合命题.

全日制普通高级中学教科书数学(必修)第一册(上)第25页的引例是值得商榷的，其陈述如下：

“这里的‘或(指逻辑联结词)我们已经学过，像不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}①.‘且(指逻辑联结词)我们也学过，像不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2-2且x<3}②.”

显然，结合课本上下文意思，即指上述①、②中的“或”、“且”都是逻辑联结词，这样就误导了我们对逻辑联结词的判断.实际上，①、②中的“或”和“且”都不是逻辑联结词，它们只分别表示不等式的解集是两个集合的“并”和两个集合的“交”.

第二，判断“或”是否为逻辑联结词，必须正确理解数学的原始定义、概念、性质、法则等，学会三种数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译.

例如(1)中，什么叫做一个正数的平方根?由定义知，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以命题(1)中的“2或-2”必须看成一个整体，不能拆开，否则改变了原命题的本意，即错误地理解“正数平方根”可指一个.因为原命题“4的平方根是2或-2”为真，拆开后为p:4的平方根是2，q:4的平方根是-2，显然，p、q都为假，于是p或q为假，这与原命题为真相矛盾.另外，根据平方根的定义，将文字语言转译成符号语言：4的平方根是x趚2=4，故“4的平方根是2或-2”等价于“x2=4的解集为{x|x=2或x=-2}”，这里“或”显然不是逻辑联结词.同理，命题(2)中“或”也不是逻辑联结词，“正数或0”必须看成一个整体.

对于文［2］认为命题(1)可写为p或q，p:4的平方根可能是2；q:4的平方根可能是-2.认为原命题省略“可能”一词，“可能是”的含义为“是而非”(“不一定是”)，与“一定是”、“是”有区别，若将可能是”理解为“是”，由平方根定义知，p、q都为假，于是p或q为假，这与原命题为真相矛盾，为了说p、q为真，选择将“可能是”理解为“不是”，这太牵强附会了.

对于文［3］认为命题(1)可写为p或q，p：4的一个平方根是2，q:4的一个平方根是-2，认为命题省略了“一个”，试问“4的平方根”能说成“4的一个平方根”吗?这不是省略问题，完全是两码事，实质上是偷换命题，所以根据正数平方根的定义，4的平方根指两个，而说成4的一个平方根，这样有勉强凑合说命题(1)为复合命题之嫌，而文［4］之观点与文［3］类似.

3.困惑的诠释

综上所述，只有不误解数学的定义、概念、性质和法则等，才能正确判断命题的真假，只有不误认为只要出现“或”即为逻辑联结词，并结合“p或q”复合命题的真值表加以分析，才能破解上述“或”命题的困惑.

一般地，如果含“或”的命题按作为逻辑联结词拆开后，“p或q”命题为假(真)命题，那么当“p或q”命题与原命题为真(假)相矛盾时，原命题中的“或”不是逻辑联结词，当与原命题为假(真)相一致时，原命题中的“或”是逻辑联结词.例如“实数的平方是正数或0”为简单命题(真)，但“正数的平方是正数或0”是复合命题(真)，“实数的平方是负数或0”为复合命题(假).至此，文［1］提出的困惑就迎刃而解了.

参考文献

［1］李承华，潘仁贵.“或”命题的困惑［J］.中学数学教学参考(增刊)，2007，8.

［2］秦庆尧，张德东.“简易逻辑”教学中存在的问题［J］.中学数学教学参考，2002，9.

［3］李三平，罗增儒.简单命题与复合命题的区别［J］.中学数学教学参考，2003，8.

［4］李三平，罗增儒.复合命题的构造［J］.中学数学教学参考，2003，9.

［5］谢全苗.“简易逻辑”不简单［J］.中学数学教学参考，2006，8.

［6］吕俊平.对新教材中一道例题和习题表述错误的纠正［J］.中学数学教学参考(增刊)，2007，8.