不完备性定理：一切知识的中心

郑毓信

一九七八年逝世的K.哥德尔教授是当代最杰出的数理逻辑学家，一位才华出众的理论工作者。王浩教授曾这样评论说，“哥德尔教授只从事于具有根本性的研究……他的工作导致了以往几十年数学基础研究中大多数主要部分的发展……哥德尔教授的工作使现代逻辑起了革命性的变化，极大地提高了它在数学和哲学方面的重要意义。”在哥德尔的各项研究中，一九三一年发表的不完备性定理具有特别重要的意义。它被誉为“数学和逻辑发展史中的里程碑”。而且，随着人类文明的进步，不完备性定理正在表现出越来越广泛、越来越深刻的影响，以致被称为“一切知识的中心”。例如，著名物理学家J.惠勒在一九七四年发表的一篇文章中就曾断言：“即使到了公元五○○○年，如果宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍然把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”

那么，什么是哥德尔的不完备性定理呢？在以往很长的历史时期内，人们始终存在这样的信念，就是认为可以把任何一种数学理论(例如，自然数理论，欧氏几何理论等)组织成一个“完备的”(和相容的)公理系统，也即可以找到这样的有限多条公理(或公理模式)，从这些公理出发，按照一定的推理规则，可以“无一遗漏”地推出相应理论中的所有真命题(而且，所推出的也仅仅是真命题，从而，这一公理系统就是相容的，也即无矛盾的)。然而，哥德尔却证明了这种信念是错误的，因为，他的不完备性定理所断言的就是：任何足够丰富的数学系统，如果是相容的，就一定是不完备的。这也就是说，对于足够丰富的数学理论(在其中能够发展起算术理论)来说，相应的公理系统(严格地说，是形式系统)必然或者是不相容的，或者是不完备的。

由于哥德尔的不完备性定理(以下简称“哥德尔的定理”)与传统观念是直接违背的，因此，在哥德尔发表了自己的定理以后，人们发表了大量的文章和著作，它们或者对哥德尔的定理及其证明思想进行解释和分析，或者对哥德尔定理的实质及其普遍意义进行了剖析和论证。例如，在一九五八年出版的《哥德尔的证明》(英文版)一书中，作者E.耐格尔和J.纽曼就着重从数学的角度对哥德尔定理及其证明思想进行了分析；另外，在一九六三年发表的一篇论文中，逻辑学家M.杜墨特则围绕自然数概念的语义分析对哥德尔定理的哲学意义进行了论述。然而，尽管存在大量的文章和著作，哥德尔的定理在少数专家圈子以外仍然很少为人们所了解：此外，虽然为数众多的作者从各种不同的角度进行了分析，但他们普遍的看法仍然是：“我们尚未能够完全把握住哥德尔定理的深远意义。”

鉴于上述情况，D.霍夫施塔特的《GEB——一条永恒的金带》一九七九年在美国引起轰动并获得了普利策大奖，就不是偶然的了。因为，这一著作从一种全新的角度对哥德尔的定理进行了论述，而且，分析的深度也超过了先前的有关著作。

霍夫斯塔特是围绕哥德尔定理来展开全书的论述的。但是，正如书名《GEB——一条永恒的金带》(其中，G即是指哥德尔〔Gdel〕，E是指当代杰出的画家埃舍尔〔Escher〕，B则是指古典音乐大师巴赫〔Bach〕)所表明的，作者并没有单纯地从数学的角度去进行分析，而是十分巧妙地把埃舍尔的画、巴赫的乐曲及关于哥德尔定理的论述结合在一起，从而编织出了“一条永恒的金带”。这条金带发出的耀眼光辉不仅照亮了哥德尔定理及其证明思想，而且，它的更高价值就在于这一“连接”本身，即在于揭示出绘画、音乐与数学这些似乎遥远相隔的人类不同文化领域之间所存在的“惊人的一致性”。据传，古希腊的毕达哥拉斯学派曾由于发现了谐音中所存在的“数的和谐性”而发展起了自己的哲学理论。他们发现产生各种谐音的弦的长度都是成整数比的。例如，当两极绷得一样紧的弦的长度的比是2：1时，就会发出相差八度的谐音；而如果两条弦长的比是3：2，就会发出另一种谐音：短弦发出的音比长弦发出的音高五度；等等。上述发现给毕达哥拉斯学派的成员留下了极为深刻的印象，他们因此提出了“万物皆数”的基本信条，并认为自己终于抓住了“世界最终的奥秘”。毕达哥拉斯学派的哲学理论是错误的；但是，新的发现，特别是关于在不同领域中所存在的共同规律的发现，的确能给人以新的启迪，并诱发出深刻的思想。这事实上也就是《金带》及哥德尔定理的根本意义之所在：它向我们提出了这样的问题：这一“永恒的金带”究竟说明了什么？

纵览《金带》一书，容易看到，一个贯穿始终的概念就是“层次”的概念。作者是在最广泛的意义下应用这一概念的。例如，画面中的不同水平面或不同的部分，乐曲中的主题与伴奏或不同的音部，原像与镜像，录制下来的声音与真实的声音，符号与意义，……这些都可以看成客观事物中的不同层次。类似的还有，信息传递中的不同层次：结构消息，外部消息，内部消息；计算机中的不同层次：机器语言，汇编语言，编译程序等；生命遗传过程中的不同层次：DNA，蛋白质，……。另外，除去这种客观的层次性以外，人类的认识活动也表现出明显的层次性：对于同一个对象(如乐曲、绘画等)可以从各个不同的层次上去理解(当然，认识的这种层次性正是客观事物的层次性的反映；而且，它的直接物质基础就是大脑结构的层次性)。最后，就哥德尔定理而言，其中也直接涉及到了两个不同的层次：对象数学和元数学。在对象数学中，我们只是按照一定的法则由给定的前提出发去进行演绎；在元数学中，我们则对对象数学的整个逻辑结构作出判断，如，“某某命题是可以证明的”，“这一理论是相容的”，等等。显然，相对于对象数学而言，元数学是一个更高的层次。

客观事物及认识过程的层次性或许早已为人们所熟悉；然而，哥德尔定理却为我们揭示了问题的另一侧面。那就是，在确认层次性的同时，我们还必须清楚地看到不同层次间的可渗透性；而且，正如《金带》的作者所指出的，在很多的情况下，这种不同层次间的渗透性又表现为“层次的缠绕”(另外，如果着眼于某一层次的话，这就是所谓的“自我相关”)。这种层次的缠绕会造成什么样的后果呢？一种直观的印象是，这是一种混淆，从而就可能导致混乱、甚至荒谬。例如，主题与伴奏互相干扰就可能造成噪音；另外，正如埃舍尔的版画《画廊》及《三个球》等所表明的，画中有画，映象之中有映象，……这就会造成混乱。正因为“层次的缠绕”往往包含有“悖理”的含义，因此《金带》中就称之为“怪圈”；而且，正如作者所指出的，哥德尔的定理实质上也就是一个怪圈。具体地说，在这一定理的证明中，哥德尔首先通过映射实现了对象数学与元数学这样两个层次的互相缠绕，从而使得对象数学中的命题获得了双重的意义：它们既是对象数学中的命题，同时又具有元数学的意义；其次，哥德尔又构造出了这样一个“自我相关”的命题G，它所断言的就是自身的不可证明性。从而，G就是一个不可证明的真命题。因为，

一、如果G可以证明的话，G必然为真；而依据G的(元数学)意义，这也就意味着：G是不可证明的，矛盾(从而，依据理论是相容的假设，G就是不可证明的)。

二、正因为G是不可证明的，因此，依据G的意义，G就是个真命题。这样，G的构成就证明了系统的不完备性；而结论的普遍性(这里的主要条件就在于：对象理论必须足够丰富以保证建立所说的映射)则又说明了“在数学理论中是无法将怪圈彻底地排除出去的”。一般地说，《金带》的作者还通过大量实例的分析引出了这样的结论：“怪圈不仅不是一种罕见的现象，而且在许多场合里是不可避免的。它是许多复杂系统的共同特点”。这也就是说，“无论是大脑思维，无论是人工智能，无论是严密的数学，无论是抽象的音乐，也无论是形象的美术，……都无法摆脱奇妙的怪圈。”

那么，这种“惊人的一致性”究竟意味着什么呢？或者说，究竟什么是哥德尔定理的普遍意义呢？考虑到哥德尔定理是数学对自身进行“反省”，即是用数学推理对数学推理自身进行探究的结果，《金带》的作者也就主要从认识论的角度对此进行了分析，即着重讨论了“哥德尔的理论为我们理解自己的思维提供了什么启示”的问题。作者的观点是：思维过程(及其物质基础——大脑)是包含有极其复杂的层次结构的，而这些层次的相互缠绕(例如，上面的层次是靠底下的层次来支持的，但是又返回来影响和控制底层的活动)则就是思维活动的关键所在。作者的这一分析是具有重要意义的。例如，从理论的角度说，以此为依据就可进而去讨论人类能否完全认识某些事物(相应地，能否完全把握某些概念)的问题。作者认为，客观事物中存在有两种不同的性质：“符号型性质”和“语义型性质”，前者并不涉及到多层次的认识结构，后者的认识则依赖于多层次的认识结构；由于多层次的结构具有无限丰富的内容，因此要完全认识语义型的性质(或者说，把握住相应的概念，如真、美等)就是十分困难的(然而，应当补充的是，我们仍可通过发展更高层次的认识及不同层次的相互渗透来不断深化我们的认识)。另外，从应用的角度说，上述的分析则又为人工智能研究的深入发展指明了方向：这种发展的关键就在于，如何去创造更高层次的描述，同时又努力去填平在不同层次间所存在的“鸿沟”。显然，在这样的意义上，层次的缠绕所具有的就不只是消极的意义了。这也就是说，如果我们仍然把这种“层次的缠绕”说成是“怪圈”的话，那么，这种怪圈就不再是“伪、恶、丑”，而是一种更高层次上的“真、善美”。事实上，正如《金带》的作者所指出的，在巴赫的乐曲及埃舍尔的作品中，我们也可感受到这种更高层次上的美。例如，巴赫的《音乐的奉献》就是一个典型的例子。其中，巴赫用一种特殊的技巧构成了一个怪圈：它由三个音部所组成，当最高音部演奏主题时，其余两个音部提供卡农式(某种意义上的“重复”)的协奏；然后，通过多次的变调，在结尾处乐曲又平滑地回到了开头。而且，它的成功之处就在于，这一怪圈并没有给人以不和谐的感觉；恰恰相反，它却使人产生了一种不断增高的感觉。此外，埃舍尔则用绘画的形式表现了这种和谐性。他的《逆行(蟹式)卡农》被说成“一支看得见的乐曲”，其中，“伴句的旋律与导句的旋律保持逆行的关系，然而，一切(又)是那样协调、自然。”事实上，《金带》一书本身也清楚地表明了这样一点：它所揭示的在艺术、数学等大相径庭的领域中所存在的惊人的一致性显然就表明了更高层次上的和谐性(这样，这种借助于层次的缠绕得以表现的和谐性，与前述的混乱性也就构成了一个怪圈)。

由于《金带》一书涉及到了音乐、绘画、数学、人工智能、遗传机制等如此广泛的领域，霍夫斯塔特的原著就是一部巨著。为了使更多的读者能够从这一出色的著作中得到教益，乐秀成同志将它翻译并改写成了一部篇幅不大的书。这一工作凝聚了编译者的创造性劳动，无疑是十分有意义的。由于编译后的《金带》仍然不可避免地涉及到了分布于各个不同领域的大量概念，更由于作者的思想是如此的新颖、深刻，因此，诚如乐秀成同志在《序言》中所说，“要想不费功夫或者较轻松地读通它仍然是做不到的。……(也)不能指望大部分人读一遍就能看懂全书的内容。”但笔者认为，这仍是一部值得读书界反复阅读、仔细领悟的好书。

最后，笔者愿在这里附带指出《金带》一书中的一个小错误。在该书第8页中，作者谈到了“爱皮梅尼特悖论”，但这事实上并不是一个严格意义上的悖论。因为，由爱皮梅尼特的断言(“所有的克里特岛人都撒谎”)为假，并不能推出“作为克里特岛人的爱皮梅尼特就没有撒谎”的结论，并只能推出“并非所有的克里特岛人(在任何时候)都是撒谎的”。从而，如果克里特岛上除去爱皮梅尼特还有其他人的话(或者说，爱皮梅尼特除去上述断言还作过别的判断的话)，爱皮梅尼特所说的这句话就可能为假而不会导致矛盾。

(《GEB——一条永恒的金带》，〔美〕道·霍夫斯塔特原著，乐秀成编译，四川人民出版社一九八四年六月第二次印刷，1.07元)