《数理逻辑引论》

康宏逵

尽管今天的数理逻辑博大精深，它的第一课仍是古典的狭谓词演算。这部引论在教学上所要达到的目标也不是别的，就是想贡献作者执教四十年的经验，来帮助读者切切实实上好这第一课。

全书分为三篇。第二篇讲古典狭谓词演算，第一篇讲它的子系统命题演算。两篇布局相仿。每篇以一章作引子，通过典型命题和推理的逻辑分析，自然地得出将在演算的语义学里占中心位置的“重言式”和“普遍有效式”概念。只是当人们对直观的语义背景有了足够的领悟，才着手建立作为一形式系统的演算。目前有好些教材只给演算作个大而化之的交代就算了事，这里相反，不惮其烦地解释了每一公理和变形规则，证明了几乎一切常见的定理，引进了种种简化演算的语法规则，如求否定规则、对偶规则、置换定理、演绎定理。只是当人们对演算的细部有了足够的知识，才转向现代逻辑研究中更为重要的一步——从总体上讨论演算的元逻辑性质，主要是一致性、完全性、可判定性。由于元逻辑常用范式作工具，有关范式预先详加绍介。

有等词的狭谓词演算见于第二篇末章。同一章还论及摹状词，论及各种摹状词理论的优劣。这为读者提供了一个机会去熟悉一种有趣的有示范作用的算子。

从前两篇还可以找到古典逻辑的不同系统和非古典逻辑的两个例子(多值逻辑、模态逻辑)的描述，然而是画龙点睛式的。引论的力量不在多而在精。本书对狭谓词演算的论述始终指向一个系统，务求完整深入。这就是希尔伯特－阿克曼系统。该系统不采用公理模式，变形规则较多较复杂，但也因此不使模糊或转移难点而使初学者产生“显而易见”的错觉。想彻底掌握狭谓词演算的精致技巧，由此入手倒是大有益的。

作者严格表述了他选定的系统，有的地方远比通常的更严格，定义置换规则的添入、谓词变项代入规则的精确化便是如此。另一方面，他决不过分追求数学上的优雅。书中公式有实例，技巧有动机，证明有指导思想，读了知其所以然。一些历来费解的问题，如命题演算的算术解释何以能证明一公理的独立性、狭谓词演算代入规则何以有许多限制、哥德尔完全性定理的证明中全能赋值系何以存在，作者的分析是很精彩、很有启发性的，而在我们所知道的其他教材里，这类有用的注解多半付诸阙如或者语焉不详。

本书有论有史。第三篇是十七世纪中叶至二十世纪三十年代的数理逻辑简史，从古典逻辑演算的萌芽讲到集合论、证明论、递归论等分支的早期工作，把读者的视线引向一个新天地。

按作者的分期，数理逻辑先后经历“初始”、“奠基”和“发展”三个阶段。第三篇分章叙述前两个阶段，第二阶段尤详，包括：集合论的创建、公理方法的发展、逻辑演算的建立、证明论的提出及其后果。关于表意语言的出现、数学方法在形式逻辑中的应用、围绕实无穷而进行的争论、集合论悖论的发现和消除、分析的一致性问题的提出、希尔伯特方案的受挫、哥德尔的划时代贡献等等，均有引人入胜的概述。全篇涉及逻辑学家数十人。另有一颇详的历史文献目录，附于书末。

在我国，数理逻辑史研究才迈第一步。作者将多年查考史料史书所得的初步结果汇为简史，是非常可喜的事。他写的不是年表，不是发明权登记册，也不是已知事实与陈说的汇编。我们看到，一些新鲜的史实被记载下来了。一些有大影响的观念、方法、学说的演化线索相当清楚地整理出来了，不尽与流行的说法相符。一些大学者、大学派的学术思想也尽可能明确地作了评价，但并非重述一些不加分析的议论。例如，谈到布劳威尔学派，作者认为，直觉主义与构造主义必须分开，与构造逻辑和构造数学更不可混为一谈。又如，作者指出希尔伯特的数学思想可疑与错误之处虽多，却不是什么“形式主义”。凡此种种都表现作者的尊重事实和公正。作者自己显然是一个唯物主义者和实无穷论者——请看书中给与康托尔、哥德尔的唯物倾向和超穷思想的高度评价。可是，他深信保卫科学和保卫哲学应当是历史研究中两个互辅的方面。

要发展健全的数理哲学，先得正视数学基础中一系列尖锐而深刻的哲学问题。本书从历史角度把问题摆出来了，这就是一个功绩。

(《数理逻辑引论》，王宪钧著，北京大学出版社一九八二年六月第一版，1.75元)