一元二次方程的根与系数的关系引入方式的比较研究

摘要：对于同一个概念，每位教师的引入方式不尽相同.比较一元二次方程根与系数关系的两种不同引入方式，设计更合理、更自然的概念引入方式.

关键词：情境；根与系数的关系；引入方式

初中教师普遍忽视一元二次方程的根与系数的关系的教学.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将这部分内容作为选学内容，不在考试范围之内，苏教版《（义务教育教科书）教师教学用书》也建议在教学上不必做过多的拓展和探究，仅供部分学生选学和探究.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中在内容要求上去掉了“”，调整为了解一元二次方程的根与系数的关系[1]，在教学提示上明确要求了要教到什么程度，附录例67中还以实例呈现，为一线教师怎么教指明方向.

从知识的完整性角度出发，该内容要求能通过系数表示方程的根，当然也能用方程的根表示系数，承上启下作用明显；从初高中衔接角度，高中不会涉及一元二次方程的根与系数的关系的发现、探究、证明过程，更多的是用其解决相关问题.因此，初中如何开展一元二次方程的根与系数的关系的教学就显得尤为重要.

1 “根与系数关系”的不同情境引入方式

1.1 教学设计一

问题1 已知矩形的长和宽分别是方程x²-123x+456=0的两个实数根，求这个矩形的周长和面积.

设计意图：公元前1600年的古巴伦数学泥板BM13901上，就记载了这样的问题——正方形的面积减去边长等于870，求边长.我国的《九章算术》中也有关于城池大小的“邑方问题”的求解.现如今，教者又赋予其新的生长点和立足点，符合《标准》中强化情境设计与问题提出的要求.学生已学习过一元二次方程的解法，可此方程的系数较大，不能快速求出方程的根，也就解决不了情境问题，由此引发学生思考，能否不解方程直接求矩形的周长和面积，即直接求两根之和与两根之积.在引入本节内容的同时，让学生理解“数学来源于生活”，又激发学生对本节内容的探究兴趣.

问题2 填写表1并观察，猜想二次项系数为1时，方程的根与系数的关系.

设计意图：由于问题1的方程计算难度大，因此问题2中设置两个二次项系数为1的方程，让学生去探究发现根与系数的特殊结论，再推广到形如x2+px+q=0的一般情况，渗透从特殊到一般的数学思想.教者始终着眼于学生的“最近发展区”，给学生创造生长的平台，让学生的思维活起来.

问题3 填写表2并观察，猜想二次项系数不为1时，方程的根与系数的关系.

设计意图：启发学生用系数表示两根之和与两根之积的一般规律，培养大胆猜想、归纳推理的能力，引导学生感悟符号表达对于数学发展的作用，为后面的证明做铺垫.从二次项系数为1的的方程到一般式方程，体现从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法，都是积累数学抽象的活动经验、培养数学抽象素养的很重要教学素材[2].

1.2 教学设计二

问题1 解方程：x²-5x-6=0.

设计意图：根据苏科版九年级上册（2013版）教材的编排，一元二次方程的根与系数的关系在一元二次方程的解法之后，此方程用配方法、公式法、因式分解法都可以解决，兼顾不同层次的学生，激活学生思维，活跃课堂气氛.让学生根据不同的解法体会几种解法之间的相互联系和区别，厘清解一元二次方程的本质是通过“降次”将一元二次方程“转化”为一元一次方程求解，从式的结构上讲是将ax²+bx+c=0（a≠0）转化为A×B=0（或A²=m）的形式，为下面的学习做好铺垫.

问题2 已知关于x的方程x²+bx+c=0两根分别为2+1，2-1，求b，c的值.

设计意图：问题2选自苏科版教材本节的习题.学生的求解方式基本上是直接代入构造方程组求解，由于两根分别为2+1，2-1，代入求解计算量较大.从求根公式可以得到一元二次方程的根是由方程的系数决定的，反之亦然.学生已经有这方面的活动经验，如（a+b）（a-b）=a²-b²，从左到右是整式乘法，从右到左是因式分解，再如5³=125是已知底数和指数求幂，3125=5是已知幂和指数求底数.现在已知方程的两根，未知的是一次项系数和常数项，那么根与系数会存在怎样的关系？由于两根的的特殊性，学生容易观察、猜想得到x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，然后根据不同形式的一元二次方程进行探究，课堂自然生长.学生也可根据方程的式结构，构造方程比较系数即可得到b，c的值.事实上，代入计算各项系数的过程，也是韦达代入方程两根利用相减法证明根与系数关系的精髓.问题2的引入，不仅能够体现研究根与系数关系的必要性，也为后续根与系数关系的证明、高次方程根与系数关系的研究提供了思路.

2 两种引入方式的比较分析

2.1 同中辨异

创设情境是课堂教学中最常见的环节.

教学设计一从生活实际构造问题情境，学生在感受解方程的局限性中体会研究根与系数的关系的必然性和合理性，再通过探究二次项系数为1到系数不为1的一元二次方程的根与系数的关系，得到根与系数关系的一般结论.

教学设计二从知识内部构造问题情境，通过研究解方程的本质，由根来逆向求解系数，打破学生固有的思维模式，突破常态进行思考和解决问题.突出根与系数有着密不可分的关系，加深学生对本节内容的理解.

教学设计一是在将实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生数学化的能力.教学设计二着力于培养学生的方程意识，渗透研究数学对象的迁移方法，帮助学生建立知识间的联系.可以说，两种引入方式，各有千秋，各有各的作用.

2.2 异中求同

通常来说，对于“一元二次方程的根与系数的关系”的教学，最便捷的教学方法是快速找到一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系，然后以较多的实践来进行形成性、巩固性、拓展性的练习和强化训练[3]，苏科版教材也是这样呈现的.知识的发现和发展过程容易被忽视，从而造成教学重难点的转移.

这两种情境引入的设计都充满探究性，由一个问题到另一个问题，制造学生的认知冲突，体现研究根与系数关系的必要性；都以问题串的形式呈现，层层递进，设计具有生活性、探究性和思维性；都经历了新概念的发生发展过程，即通过具体的根与系数关系抽象出一般结论.基于学生为主体的理念，引导学生积极主动地参与课堂，促进素养的落地生根.

3 教学思考

3.1 创设真实情境，指向有效教学

数学情境首先应该是数学的.一个好的生活化教学情境，它的价值不应仅局限于引出课题，还在于让学生在思考解决这个情境所蕴含的数学问题的过程中，经历由生活化问题抽象出数学问题的数学化过程，感悟抽象思想与模型思想，以提高发现问题与提出问题的能力，感受数学与生活的紧密联系，更在于激发学生运用已有的知识及经验去努力解决所得到的数学问题的兴趣，以提高分析问题与解答问题的能力.在分析问题与解答问题的过程中，当学生发现所学习过的知识、所具有的经验均无法顺利解答时，则被迫学习新的知识与方法.此时的新知，是在“愤”与“悱”状态下去学习的，因而其学习的兴趣被激发，学习的主动性就会提高，学习的效率自然提升.

教学设计一中，问题1的方程，人为设计的痕迹明显，真实性有待考证.《标准》也多次提及“真实情境”.可以做如下尝试：已知矩形的长和宽分别是方程x2-8x+2=0的两个实数根，求这个矩形的周长和面积.设置两个层次，第一层次：将方程变为x²-8x+3=0，x²-8x+4=0，x²-8x+5=0……方程在变化，解也在变化，但矩形的周长与一次项系数不变，即两根之和与一次项系数有关系；第二层次：将方程变为x²-8x+10=0，x²-9x+10=0，x²-10x+10=0……方程在变化，解也在变化，但矩形的面积与常数项不变，即两根之积与常数项有关系.这样的问题情境更自然、合理.

3.2 激活已有经验，助推目标达成

数学情境除了来自现实生活外，还可以根据数学知识的内在逻辑联系，通过“以旧引新”的形式被创设出来.这里的旧知，并不是简单的复习旧知，而是要深入挖掘新知与旧知间的内在逻辑关系，运用已有知识经验主动探索新知的自我认同的学习过程，是对已有数学知识及认知经验的同化与顺应.

教学设计二的问题2中，提供的两根虽然有联系，但有一定难度，学生不容易想到.教学中可以将问题2分解，做如下尝试：写出一个一元二次方程使得两根分别是-1，2；两根分别是x₁，2；两根分别是x₁，x₂.学生基于对问题1解方程的认识，可以根据方程的式结构将ax²+bx+c=0（a≠0）化为a（x-x₁）5（x-x₂）=0（a≠0），从而解决问题的同时，也能通过比较系数法得到根与系数关系的一般规律.这样的分层设计，由数到式，由简到繁，逐层深入，顺势而为.

3.3 重温发展历史，多元概念引入

数学作为一门具有悠久历史的学科，具有自身独特的丰富数学史、数学美的文化价值.教学时，利用这些资源来创设问题情境，可以让学生从数学发展的历程上去整体认识数学，加深对当下学习的数学知识及方法的整体性理解.更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟用数学的观点看待和认识世界的思想真谛[4].

根与系数的关系从起源、发现、完善、证明到推广跨越了几百年，许多数学家都为它的证明作出了贡献.教学时可以从不同视角对情境引入进行再设计.如可以让学生收集、阅读相关的历史文献资料，课堂以汇报或短视频的形式展示；按照历史上证明“一元二次方程根与系数的关系”的几种方法的顺序进行教学，由易到难地引导学生开展探究式数学学习活动.只有了解根与系数关系的“前世今生”，才能更好地揭示其产生的合理性和必然性，经历其探究发现、证明完善的历史演化进程，有助于形成动态数学观，赏析多元数学文化.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：56.

［2］黄贤明.基于5E教学模式的“一元二次方程的根与系数的关系”教学设计与思考[J].数学通讯，2022（7）：3-6.

［3］郑瑄.意蕴悠长 自然流畅——对“一元二次方程的根与系数的关系”一课的品赏与评析[J].中国数学教育，2022（17）：57-60.

［4］徐德同.关于概念教学的几点思考[J].数学通报，2015，54（3）：23-26，29.