合理代换，巧妙放缩

摘要：涉及多变量最值问题，应用场景众多，问题难度较大，掌握一些基本的解题技巧与应对策略是解题的关键所在.结合实例应用，就多变量最值问题解决时的几类常见应对策略加以剖析，总结归纳解题的技巧方法与基本策略，从而指导师生的数学教学与学习及解题研究.

关键词：多变量；最值；消元；基本不等式；代换

含有多变量（往往是指双变量及多于两个的变量）的代数式最值（或取值范围）问题，是不等式模块中比较常见的一类题型，也是高考命题的热点题型之一.此类综合应用问题交汇融合度高，涉及变量众多，条件复杂多变，难度通常较大，导致学生往往无从下手，给问题的分析与解决带来比较大的困难.本文中就此类多变量最值问题的常见应用策略做进行探讨，抛砖引玉，与同行交流.

1 代入消元

例1" （2024年安徽省皖南八校高考数学三模试卷）已知正实数a，b，c满足a2－ab+4b2－c=0，当cab取最小值时，下列说法正确的是（" ）.

A.a=4b

B.c=4b2

C.a+b－c的最大值为34

D.a+b－c的最大值为38

解析：因为正实数a，b，c满足a2－ab+4b2－c=0，所以a2+4b2=ab+c.

由基本不等式可得a2+4b2≥4ab，当且仅当a=2b时等号成立，则ab+c≥4ab，解得c≥3ab，故cab≥3，即cab的最小值为3，此时a=2b.

由此可知，选项A错误.

由c=3ab=3×2b2=6b2，可知选项B错误.

根据a+b－c=2b+b－6b2=－6b2+3b=－6b－142+38≤38，可知以a+b－c的最大值为38，故选项C错误，选项D正确.

故选答案：D.

点评：在确定对应多变量代数式取得最值的条件下，构建变量之间的线性关系，为进一步代入消元求解与之相关的代数式的最值（或取值范围）创造条件.代入消元的目的是减少变量，可将问题转化为单变量问题，进而结合函数与方程、不等式的基本性质等知识来分析与解决.

2 常量代换

例2" 〔2023—2024学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷〕已知实数x，y满足x+y－xy=0，且xy＞0.若不等式4x+9y－t≥0恒成立，则实数t的最大值为（" ）.

A.9

B.12

C.16

D.25

解析：由xy＞0，x+y－xy=0，得1x+1y=1.

利用基本不等式，可以得到4x+9y=（4x+9y）＼51x+1y=13+9yx+4xy≥13+29yx×4xy=25，当且仅当9yx=4xy，即x=52，y=53时，等号成立.

因为不等式4x+9y－t≥0恒成立，所以可得（4x+9y）min≥t，则t≤25.故实数t的最大值为25.

点评：在多变量关系式中涉及关系式的和或积为常量时（特别是和式为常量），借助常量代换（常见的是常数“1”的代换），创造适合运用基本不等式的条件，实现代数式最值的顺利求解.

3 因式分解

例3" （2024年安徽省马鞍山市、滁州市高考数学二模试卷）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc=18，则2a+3b+3c的最小值是（" ）.

A.6

B.46

C.62

D.63

解析：由a2+3ab+3ac+9bc=18，因式分解可得（a+3b）（a+3c）=18.

因为a，b，c均为正数，由基本不等式可得18=（a+3b）（a+3c）≤a+3b+a+3c22，解得2a+3b+3c≥62，当且仅当a+3b=a+3c，即a+3b=32，b=c时，取等号成立.

所以2a+3b+3c的最小值是62.

故选答案：C.

点评：在一些多变量最值问题中，抓住题设条件中的代数式结构特征，以及所求结果中的代数式形式，合理联系，巧妙思维，借助因式分解的处理来链接二者之间的关系，为进一步利用基本不等式来放缩与求解创造条件.

4 换元变形

例4" （2024年天域全国名校联盟高考数学第一次适应性试卷）已知实数a，b，c满足a+b－2c=2（b－a）（c－a）－2，则|3a－b－2c|的最小值为（" ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：设b－a=x，c－a=y，则a+b－2c=a+a+x－2（a+y）=x－2y，2（b－a）（c－a）－2=2xy－2，于是x－2y=2xy－2，即x+2=2y（x+1），显然x≠－1，则有2y=x+2x+1=1+1x+1.

所以|3a－b－2c|=|3a－a－x－2a－2y|=|x+2y|=x+1+1x+1=|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|×1|x+1|=2，当且仅当|x+1|=1|x+1|，即x=0或x=－2时，等号成立.

进一步验证：当x=0时，a=b=c－1，则|3a－b－2c|=2，符合题意；当x=－2时，y=0，则a=c=b+2，|3a－b－2c|=2，符合题意.

所以|3a－b－2c|的最小值为2.

点评：涉及多变量最值问题中的换元变形，常见的有单变换元、双变换元、三角换元等形式.利用换元变形解决多变量最值问题时应特别注意代换变量之后，要合理统一变量后再处理，同时要注意验证等号成立时的条件.

5 多次放缩

例5" 〔2023—2024学年湖北省黄冈市浠水一中高一（上）期中数学试卷〕已知a，b，c是正实数，且b+c=6，则ac2+2abc+4a+1的最小值为.

解析：易得ac2+2abc+4a+1=acb+2abc+4a+1=cb+2bca+4a+1.

利用基本不等式，得cb+2bc=cb+b+c62×2bc=cb+（b+c）23bc=4c3b+b3c+23≥24c3b×b3c+23=2，当且仅当4c3b=b3c，即b=2c时，等号成立.

所以，利用基本不等式可得到cb+2bca+4a+1≥2a+4a+1=2（a+1）+4a+1－2≥22（a+1）×4a+1－2=42－2，当且仅当2（a+1）=4a+1，即a=2－1时，等号成立.

所以ac2+2abc+4a+1的最小值为42－2.

点评：在利用基本不等式多次放缩求解多变量最值问题时，注意放缩过程中不等式的方向的正确判定，以及不等式的基本性质的应用.同时，在多次放缩过程中，一定要注意两点.一是等号成立时所对应的参数值是否在定义域内；二是多次用“≥”或“≤”放缩，等号一定要保持同时成立.只有同时满足以上两点，所确定的多变量最值才是吻合题设条件的.

其实，对于涉及多变量最值问题的应对策略，其基本解题思维是把多变量逐一减少，转换成双变量，最后转换成单变量，进而借助函数与方程、不等式的基本性质等来分析与处理关于这个单变量的函数或方程、不等式问题，利用相应的知识来分析与求解.而结合相关代数式的结构特征，合理选用比较合适的应对策略，可以在一定程度上优化多变量最值问题的解决，把握常规技巧方法，合理尝试与调整，探寻解决问题的方向，形成完善的认知结构，有效提高数学思维的灵活性与创新性，形成并培养数学核心素养.