恒等变形巧同构，不等性质妙放缩

摘要：同构思维是解决数学综合问题中一种比较特殊的解题思维与技巧方法.本文中结合一道含参函数的最值问题，借助不等式恒成立的构建，以及关系式的恒等变形，依托同构思维与不等性质的应用，立足同构思维与不等性质求参数的值，归纳总结同构思维与切线不等式思维的解题技巧与规则，合理变式拓展，指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；最值；同构；切线不等式；恒成立

近几年新高考数学试题中的主观题与客观题，经常出现一些以导数为工具，借助参数或代数式的取值、最值（或取值范围）等的探求来设置与应用.此类问题通常基于含参方程、函数、不等式等形式来设置，通过方程、函数与不等式三者之间的等价转化与恒等变形，或寻找同型来巧妙同构函数转化，或借助特征去利用不等性质变形，进而利用不等式的构建或方程的设置来求解参数或代数式的取值、最值（或取值范围）等，实现问题的突破与应用.这类试题创新新颖，结构独特，解题技巧性高，知识综合性强，是基于同构思维或不等性质巧妙应用的一种重要场景，成为高考命题中的一类热点题型，倍受各方关注.

1 问题呈现

问题" 〔2025届广东省五校（清中、河中、惠中、阳中、深圳翠园中学）高三12月份联合考试数学试卷·14〕已知函数f（x）=ex－ln x+（1－m）x－ln m的最小值为0，则m=.

此题以含参函数为问题场景来创设，利用函数最小值的确定，借助函数与方程、函数与不等式等关系的变形与转化，进而确定对应参数的取值，全面考查函数与不等式、函数与导数等方面知识的综合应用.

合理观察对应的含参函数，结合函数最小值等条件来等价构建含参不等式恒成立问题，从同构思维以及切线不等式思维等视角切入与应用，合理转化相应的不等式，结合新函数的同构处理或不等式的合理放缩，化简对应的不等式，结合取得等号的条件来确定参数的取值与应用.

2 问题破解

2.1 同构思维

解：

由题意知，ex－ln x+（1－m）x－ln m≥0对于xgt;0恒成立，且能取得等号，即ex+x≥ln（mx）+mx=ln（mx）+eln（mx）恒成立.

同构函数g（x）=ex+x，xgt;0，易知函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）≥g［ln（mx）］，所以x≥ln（mx），即ex≥mx，则m≤exx在（0，+∞）上恒成立，且能取得等号.

设函数h（x）=exx，xgt;0，求导可得h′（x）=（x－1）exx2.由h′（x）=0，得x=1.所以当x∈（0，1）时，h′（x）lt;0，函数h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）gt;0，函数h（x）单调递增.

所以h（x）min=h（1）=e，又知m≤e

能取得等号，所以m=e.

故填答案：e.

点评：依托题设条件中函数对应的不等式恒成立，合理加以恒等变形与转化，巧妙同构函数，利用函数的单调性进行合理变形与转化，在此基础上得到简化的不等式恒成立，再分离参数，结合函数的构建，并利用函数的单调性与最值，进而确定对应参数的取值.不同视角的不等式恒等变形以及分离参数的切入点不同，构建不同的函数来分析与处理.

2.2 切线不等式思维

解：

由题意知，ex－ln x+（1－m）x－ln m≥0对于xgt;0恒成立，且能取得等号，即ex+x≥ln（mx）+mx=ln（mx）+eln（mx）恒成立.

同构函数g（x）=ex+x，xgt;0，易知函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）≥g［ln（mx）］，则x≥ln（mx），即x≥ln m+ln x，可得ln m≤x－ln x恒成立，且能取得等号.

结合切线不等式，得ln x≤x－1，当且仅当x=1时等号成立，则有x－ln x≥1.

所以ln m≤1，要使得等号成立，则ln m=1，求得m=e.

故填答案：e.

点评：依托不等式的恒等变形与转化，通过同构函数进行化简，合理通过不等式的恒等变形，结合切线不等式进行放缩来确定相应关系式的最值情况，利用不等式恒成立来建立对应的关系式，进而利用条件加以合理转化与求解，实现参数值的确定.同构思维的应用给问题提供了切入的条件，而切线不等式的放缩应用，可以更好地优化解题过程，减少推理过程与数学运算.

3 变式拓展

3.1 类比变式

基于原问题的设问方式，合理加以改变与创新，从不等式恒成立视角进行设置与类比，进而求解参数的最值或取值范围问题.

变式1" （2025届山东省菏泽市高三上期中数学试卷·14）若ex－ln x≥ln m+（m－1）x，则实数m的最大值为.

解析：依题，由ex－ln x≥ln m+（m－1）x，可得ex+x≥ln x+ln m+mx=ln（mx）+mx=eln（mx）+ln（mx）.

同构函数f（x）=ex+x，xgt;0，易知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f［ln（mx）］，所以x≥ln（mx），即x≥ln m+ln x，可得ln m≤x－ln x恒成立.

结合切线不等式，可得ln x≤x－1，当且仅当x=1时等号成立，则有x－ln x≥1.

所以ln m≤1，解得0lt;m≤e，即实数m的最大值为e.

故填答案：e.

3.2 深入变式

结合原问题进行深入探究与综合应用，拓展思维，深度学习，实现深入变式与应用.

变式2" 已知函数f（x）=exxm－x+mln x－1的最小值为0，则m的取值范围为.

解析：依题，函数f（x）的定义域为（0，+∞）.令t=exxmgt;0，则ln t=x－mln x.

由f（x）换元可得g（t）=t－ln t－1，tgt;0，求导得g′（t）=1－1t=t－1t.令g′（t）=0，得t=1.所以当t∈（0，1）时，g′（t）lt;0，函数g（t）单调递减；当t∈（1，+∞）时，g′（t）gt;0，函数g（t）单调递增.

所以g（t）min=g（1）=0.

因为函数f（x）=exxm－x+mln x－1的最小值为0，所以t=exxm=1有解.

当m=0时，x=0不符合题意.

所以当m≠0时，由exxm=1可得mln x=x，即1m=ln xx有解.

构建函数h（x）=ln xx，xgt;0，求导可得h′（x）=1－ln xx2.由h′（x）=0，得x=e.所以当x∈（0，e）时，h′（x）gt;0，函数h（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，h′（x）lt;0，函数h（x）单调递减.

所以h（x）max=h（e）=1e，则1m≤1e，解得mlt;0或m≥e，即m的取值范围为（－∞，0）∪［e，+∞）.

故填答案：（－∞，0）∪［e，+∞）.

4 教学启示

4.1 同构思维，巧妙探寻

在破解一些涉及函数或方程、代数式、不等式等综合应用问题时，合理挖掘问题的内涵与实质，创新数学意识，开拓数学思维，结合题设条件中的关系式、方程或不等式的结构特征与基本性质，借助慧眼识别、寻找、挖掘其中的同型或共性，合理同构函数，利用函数共性来巧妙解决.

利用同构法处理此类涉及函数或方程、代数式、不等式等综合应用问题，关键在于合理同构后，进一步借助函数的基本性质（单调性、周期性、奇偶性以及最值等）等来转化与解决，将一些比较复杂的相关问题转化为基本的函数问题来处理，不断增强创新意识、同构意识与创新应用，融合知识交汇，形成数学能力，培养数学核心素养.

4.2 不等性质，创新放缩

切线不等式是基于函数与导数的综合应用的产物，也是对知识与应用的提升与升华.常见的切线不等式有指数切线不等式ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立），ex≥ex（当且仅当x=1时等号成立），或对数切线不等式ln x≤x－1（当且仅当x=1时等号成立），ln x≤1ex（当且仅当x=e时等号成立）等.

此类涉及切线不等式的这一不等性质，是在数学知识的学习与数学解题过程中，不断总结出的一些基本知识点，可以作为相应的“二级结论”加以巧妙应用，对于快捷巧妙解题有一定的促进与提升作用，可以在一定程度上促进对数学基础知识的理解与掌握，发散数学思维，优化数学习惯，培养良好的数学品质与数学核心素养等.