开拓数学视角，发散数学思维

摘要：涉及函数或方程场景中的双变量代数式的最值（或取值范围）问题，以简捷优美的形式设置，巧妙联系“等”与“不等”之间的辩证关系，成为高考、竞赛及强基等数学命题中比较常见的一类基本考查类型.借助一道模拟题中三角方程场景下双变量代数式的最值确定，合理剖析与挖掘，从不同思维视角切入，发散数学思维，进行一题多解，并加以巧妙变式，对学生关键能力的提升与核心素养的养成都有益.

关键词：方程；代数式；最值；函数；三角函数

基于函数、方程等场景下的双变量代数式的最值（或取值范围）问题，经常以二次函数或方程、分式函数或方程、指数函数或方程、对数函数或方程及三角函数或方程等不同形式来设置，立足“等”的问题场景，合理加以创设，进而确定涉及双变量代数式的最值（或取值范围），实现“不等”的巧妙转化，合理构建等与不等之间合理过渡与巧妙转化的一个重要场景，成为各类数学试卷命题中的一个重点与热点问题，有效考查考生的“四基”与“四能”，一直备受各方关注.

1 问题呈现

问题" （2025届山东省临沂市高三11月期中考试数学试卷·14）已知关于x的方程asin x+（b+1）＼5cos x+2b+2=0有解，则a2+b2的最小值为.

此题以三角方程为问题场景，结合双变量条件的创设，巧妙借助双变量之间的平方和形式来设置问题，确定对应代数式的最值，巧妙实现等与不等之间的辩证关系与等价转化，题目条件简单明了，在命题中很好地融入了辩证思维方式.

实际解决该问题时，剖析题设条件，挖掘问题的内涵与实质，结合三角方程的变形与转化，可以直接立足三角方程场景，结合三角函数思维来分析与处理；也可以化方程为直线场景，结合解析几何思维来分析与处理；还可以化方程为等式场景，结合不等式思维来分析与放缩等.借助三角方程设置中的“等”，对比所要求解代数式的“不等”，利用三角函数思维、解析几何思维、不等式思维等，实现“等”与“不等”之间的联系与转化，进而实现代数式的最值（或取值范围）的突破与求解.

2 问题破解

2.1 三角函数思维

解法1：辅助角转化法.

依题，关于x的方程asin x+（b+1）cos x=－2b－2有解.

利用辅助角公式有a2+（b+1）2sin（x+φ）=－2b－2，其中tan φ=b+1a.

根据题设条件，关于x的方程sin（x+φ）=－2b+2a2+（b+1）2有解.

所以－2b+2a2+（b+1）2≤1，整理可得a2+（b+1）2≥4（b+1）2，亦即a2≥3（b+1）2.

所以a2+b2≥3（b+1）2+b2=4b2+6b+3=4b+342+34≥34，当且仅当b=－34且a2=3（b+1）2，即b=－34，a2=316时，等号成立.

所以a2+b2的最小值为34.

点评：立足三角方程的应用场景，巧妙变换三角方程形式，结合三角函数中的辅助角公式的利用，并结合三角函数的有界性来合理构建不等式，建立参数之间的不等关系，进一步利用二次函数的图象与性质来分析，实现代数式最值的确定.用三角函数思维来确定代数式的最值（或取值范围）问题时，往往离不开三角函数的图象与性质的综合应用，以及有界性的放缩与应用等.

2.2 解析几何思维

解法2：距离转化法.

由asin x+（b+1）cos x+2b+2=0，得asin x+b（cos x+2）+cos x+2=0.

所以a2+b2可看作直线l：asin x+b（cos x+2）+cos x+2=0上的点P（a，b）到坐标原点O（0，0）的距离|OP|的平方.

设坐标原点O到直线l的距离为d，则有|OP|≥d.

所以a2+b2=|OP|2≥d2=（cos x+2）2sin2x+（cos x+2）2=（cos x+2）25+4cos x.

令t=5+4cos x∈［1，9］，则有cos x=t－54，于是（cos x+2）25+4cos x=t－54+22t=t2+6t+916t=116t+6+9t≥1162t×9t+6=34，当且仅当t=9t，即t=3，cos x=－12时，等号成立.

所以a2+b2的最小值为34.

点评：挖掘三角方程所符合的一次函数的本质，将问题转化为直线方程问题，结合a2+b2的几何意义，化所求代数式为解析几何中的距离问题，通过几何直观与几何性质来转化与应用，实现化归与突破.用解析几何思维来确定代数式的最值（或取值范围）问题时，往往离不开解析几何场景下的几何意义与几何性质等的应用，要加以合理构建与解析几何相关的数学模型，进而来分析与应用.

2.3 不等式思维

解法3：柯西不等式法.

依题意，关于x的方程asin x+（b+1）cos x=－2b－2有解.

利用柯西不等式，可得－2b－2=a＼5sin x+（b+1）＼5cos x≤a2+（b+1）2·sin2x+cos2x=a2+（b+1）2.

两边平方，可得a2+（b+1）2≥4（b+1）2，即a2≥3（b+1）2.

所以a2+b2≥3（b+1）2+b2=4b2+6b+3=4b+342+34≥34，当且仅当b=－34且a2=3（b+1）2，即b=－34，a2=316时，等号成立.

所以a2+b2的最小值为34.

点评：挖掘三角方程所对应的代数式的等价关系，结合不等式的代数特征加以合理放缩，巧妙转化，可以给问题的突破与求解开拓一个全新的局面.这里借助柯西不等式来合理放缩，巧妙消去自变量，为问题的求解创造条件.用不等式思维来确定代数式的最值（或取值范围）问题时，往往离不开一些特殊不等式的应用（如基本不等式、均值不等式、柯西不等式、切线不等式等）及不等式的基本性质，合理放缩，综合应用.

3 变式拓展

3.1 方法类比

变式1" 〔2025届上海师大附中高三（上）月考数学试卷（10月份）〕已知函数f（x）=ax－1+b－ln x－1，若关于x的方程f（x）=0在［e，e2］上有解，则a2+b2的最小值为.

3.2 场景类比

变式2" 已知函数f（x）=lnax+13b－x2+19（a，b∈R）有零点，则a2+b2的最小值为.

4 教学启示

其实，基于函数、方程、不等式及创新场景等应用条件下的多变量（以双变量为主）问题场景，涉及对应代数式的最值（或取值范围）的求解或判定等，此类问题难度往往都比较大，能够合理交汇函数、方程、不等式等相关知识，是这些相关知识与其他一些基础知识之间的综合应用的一个基本考查点，例如有时还交汇三角函数、平面向量、解析几何、函数与导数等数学基础知识.

此类涉及双变量代数式的最值（或取值范围）问题，解题方法众多，关键在于立足题设条件，以及所求代数式的结构特征，以方程法、函数法、不等式法、三角函数法等比较常见的技巧方法切入与应用.有时还可以合理挖掘条件代数式的结构特征，利用平面向量思维、平面解析几何思维等，通过平面向量、直线与曲线之间的关系等技巧方法，也可达到目标的转化与解决的目的.

在实际教学与解题研究中，此类涉及双变量代数式的最值（或取值范围）问题比较典型，具有一定的代表性，值得我们好好深入探究与深度学习，其是以综合创新的应用场景及数学知识的巧妙融合，基于数学“四基”的有效落实，很好地考查考生的“四能”情况，对于考生的合理选拔与有效区分，以及关键能力的提升与核心素养的养成等方面都是有益的.