基于教材的拓展课：一道例题的引申及应用

1 教学分析

本节课的教学目标：

（1）借助教材例题中的几何模型引申出“三余弦定理”及求二面角的面积射影公式；

（2）引导学生观察教材例题模型，探索过一点的三条线段构成三面角之间的关系，进而发现“三余弦定理”和求二面角的面积射影公式；

（3）通过对例题的引申、发散，培养学生利用现有资源发现问题、提出问题和解决问题的能力.

本节课的教学重难点：

重点：探究得出“三余弦定理”、最小角定理及求二面角大小的面积射影法.

难点：掌握“三余弦定理”、最小角定理、面积射影法在立体几何中的灵活应用.

2 教学过程

2.1 例题导入

例题" （沪教版数学必修第三册第10章的例7）如图1，设l是平面α的一条斜线，与平面α交于点O，l′是l在平面α上的投影，l″是平面α上过点O的另一条直线，l与l′所成的角为θ，l与l″所成角为μ.求证：θlt;μ.

师：该例题是证明线面角是最小角时出现的，是通过构造直角三角形边的大小关系建立角的正弦值从而确定角的大小关系.今天我们再仔细观察这个图形（模型），看看还能探究出哪些新的结论？同学们能否根据题干条件抽象出基本的几何模型？

生：l是平面α的斜线，l′是l在平面α上的射影，l″是平面α的另一条直线，三条直线交于同一点O.

师：我们得到了本节课要研究的几何模型，即从一点引出三条射线，其中两条线确定平面α，另一条线是α的斜线，且斜线在α上的射影是确定α的两条直线中的一条.如图1，OB是OA在α的射影，若过点B作BC⊥OC于点C，则四面体OABC的四个侧面都是直角三角形.

2.2 问题探究

问题" 如图2，由点O引出三条射线OA，OC，OD，若∠COA=∠DOA=π3，∠DOC=π2，求OA与平面OCD所成的角的大小.

设计意图：引导学生能在具体问题中判断并构造出所需的几何模型，加强学生对几何模型的理解，从特殊到一般推导和论证“三余弦定理”.

师：本题同样是由点O引出的三条射线，这是我们今天所要探究的几何模型吗？

生：不是.

师：为什么？

生：因为OD不是OA的射影.

师：你能确定OA在平面OCD上的射影的位置吗？

生：OA在平面OCD上的射影OB落在∠COD的平分线上，如图3.

设计意图：引导学生探究由条件∠COA=∠DOA得出OA在平面OCD上的射影位置，延伸出教材第30页求证的一般结论.

师：这道题目中出现了两个对称的几何模型，只研究其中一个模型即可.问题转化为已知OA与OC的夹角μ=π3，OB与OC的夹角α=π4，求OA与OB的夹角θ.构造直角三角形，利用边角关系去转化求解.

生：过点B作BH⊥OC，垂足为H，连接AH，AB，如图4.设OH=a，∠BOH=α.

在Rt△AOH中，cos μ=OHOA，于是可得OA=2a.在Rt△BOH中，cos α=OHOB，则OB=2a.所以在Rt△AOB中，cos θ=OBOA=22，故OA与平面OCD的夹角大小为π4.

师：在这个过程中，我们发现cos μ=OHOA，cos α=OHOB，cos θ=OBOA，这三个等式之间存在何种关系？

生：cos μ=cos α＼5cos θ.

（注：上式中μ，α，θ均为锐角.）

师：其中OA与OC的夹角μ为斜线角，OA与OB的夹角θ为线面角，OB与OC的夹角α为射影角，这三个角的余弦值存在上述的等量关系可称之为“三余弦定理”.

师：教材中是利用角的正弦值证明最小角定理，那现在能否利用这个余弦关系式进行证明呢？

生：因为cos α∈［－1，1］，所以cos μ≤cos θ，那么μ≥θ，最小角定理就得证了.

师：按照这个推理，不仅可以证出最小角定理，即μ≥θ，也可以得出斜线角与射影角的关系即μ≥α.

设计意图：通过学生的自主探究得出“三余弦定理”，强化逻辑推理能力，发挥学生学习的主体作用.

师：可求图1中二面角A-OC-B的余弦值吗？

生：cos∠ACB=BCAC.

师：BC，AC同时是OC的垂线，即为△BOC和△AOC的高.由同底的三角形的高之比就是三角形的面积之比，可知cos∠ACB=S△BOCS△AOC，这两个三角形有什么关系吗？

生：△BOC是△OAC在平面α上的射影.

师：于是我们又得到了一种新的求二面角的余弦值的方法，本方法称为“面积射影定理”.

2.3 知识应用

例1" 如图5，已知AC是平面α内的一条直线，P为α外一点，且PA=2，P到α的距离PB为1.设∠PAC=θ，求cos θ的取值范围.

生：cos θ=cos∠PABcos∠BAC，其中∠PAB=π6，cos∠BAC∈［－1，1］，那么cos θ∈－32，32.

变式" 在平面α内作AC的平行线A1C1，求异面直线PA与A1C1所成角的取值范围.

生：将A1C1平移到AC处，那么异面直线PA与A1C1所成角为∠PAC或其补角.

师：那么角的范围就是第一问的π6，5π6？

生：是的.

师：是否考虑到PA与A1C1是异面直线了？那么角的范围应该是多少？

生：π6，π2.

设计意图：学生能根据题意构造出“三余弦定理”的几何模型，直接应用“三余弦定理”求解，加深对“三余弦定理”的理解.变式为求异面直线所成的角，需要利用直线平移构造几何模型，为例2作铺垫.

例2" 若异面直线a，b所成的角为80°，过空间一点P作直线l.若直线l与a，b所成的角都是60°，则这样的直线l共有条.

变式1" 若异面直线a，b所成的角为80°，过空间一点P作直线l.若只能作出两条直线l与a，b所成的角均为θ，求θ的取值范围.

变式2" 若异面直线a，b所成的角为80°，过空间一点P作直线l.若直线l与a，b所成的角都是相等，则这样的直线l有多少条？

师：对于异面直线所成角的问题，可以通过平移转化为共面问题.

生：过空间一点P分别作a，b的平行线a1，b1，如图6.

师：问题转化为在点P处找直线l，使它和a1，b1的夹角为60°，那应该怎么求解呢？

生：先作直线l在α上

的投影，它在直线a1与b1夹角的平分线上.

师：因为知道射影角的大小，从而确定斜线角为60°的直线条数，根据“三余弦定理”可知，斜线角大于等于投影角即可，那么会有几条呢？

生：2条.

师：只有两条吗？你现在只考虑到了80°，其补角能不能满足？

生：可以的，那就有4条.

师：由此可知，对于变式1，只能是80°的情况，此时θ的范围是多少呢？

生：40°lt;θlt;50°.

师：对于变式2的一般情况，先考虑80°方向上，再考虑100°方向上满足的直线，则结果是什么？

生：θ=40°时，1条；40°lt;θlt;50°时，2条；θ=50°时，3条；50°lt;θlt;90°时，4条；

θ=90°时，1条.

设计意图：利用“三余弦定理”解决异面直线所成角的问题，加深学生对于定理中“平面内的任意一条直线”的理解.解答本例及变式，要灵活构建例题中的模型，从特殊到一般，引导学生探究出一般性的结论.

例3" 如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，分别为棱AB，BC的中点.

（1）求二面角M-B1N-B的余弦值；

（2）求平面B1MN与平面B1A1C1所成锐二面角的大小.

生：对于第（1）问，过点M作B1N的垂线MH，垂足为H，连接BH，利用三垂线定理找出二面角的平面角即可求解.

师：如果第（1）问是一道填空题，可以利用面积射影法求解.对于第（2）问的无棱问题如果是填空题也可直接利用面积射影法求解，如果是解答题则通过平移平面找公共棱求解.

设计意图：这道例题是求解在不同情况下二面角的大小，利用这道例题归纳常见的二面角的求解方法.

解析：（1）（法一）过点M作B1N的垂线MH，垂足为H，连接BH，如图8，由三垂线定理可知BH⊥B1N，则∠BHM为所求二面角的平面角.

在Rt△MBH中，BH=255，BM=1，MH=355.

所以cos∠BHM=BHMH=23.

法二：△MB1N在平面BB1C1C上的射影为△B1NB，设所求二面角为θ，则cos θ=S△B1NBS△MB1N=23.

（2）法一：因为平面ABCD∥平面B1A1C1，所以平面B1MN与平面B1A1C1所成锐二面角为平面B1MN与平面ABCD所成锐二面角.过点B作MN的垂线BE，垂足为E，连接B1E，如图9.由三垂线定理可知B1E⊥MN，所以∠BEB1为所求二面角的平面角.

在Rt△BEB1中，易得BE=22，B1E=322，所以cos∠BEB1=BEB1E=13.

法二：因为平面ABCD∥平面B1A1C1，所以平面B1MN与平面B1A1C1所成锐二面角为平面B1MN与平面ABCD所成锐二面角.

因为△B1MN在平面ABCD上的射影为△BMN，设所求二面角为θ，则cos θ=S△MNBS△MB1N=13.

2.4 课堂小结

本节课从教材例题入手，抽象出几何模型并对它进行了探究，我们主要得到了哪些结论呢？

生：角平分线定理、“三余弦定理”、最小角定理、面积射影法求二面角.

师：在这些结论的探究过程中，我们主要是借助抽象出的几何模型；在结论的推导中，主要是把空间问题平面化，这也是解决空间问题的重要方法.本节课从一道教材的例题入手，通过探究挖掘出几个重要结论，这些结论的应用在教材中也是有迹可循的.这提醒我们要重视对教材内容的钻研，对于“简单题”也要有探究精神，将简单的事做好做透，同样是不简单的.

设计意图：从知识层面、数学思想方法层面以及育人价值层面对本节课进行总结，也增强了教材的主体地位，达到了本节课的学习目标.

2.5 课后作业

（1）如图10所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是（" ）.

A.θ1=θ2

B.θ1gt;θ2

C.θ1lt;θ2

D.不能确定

答案：C.

（2）已知二面角α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，设直线AB与平面α，β所成角分别为θ1，θ2，则（" ）.

A.θ1+θ2=90°

B.θ1+θ2≥90°

C.θ1+θ2≤90°

D.θ1+θ2lt;90°

答案：C.

（3）如图11所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均等于2，M为线段BB1上的动点，则平面ABC与平面AMC1所成的锐二面角余弦值的最大值为.

答案：22.

（4）如图12，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求平面SCD与平面SBA所成的二面角的正切值.

答案：22.

课堂视频

（5）题设如前文中的例题（即教材例7），求证：sin∠ACB=sin∠AOBsin∠AOC或tan∠ACB=tan∠AOBsin∠BOC.

（6）（选做）给出例2变式2的规范解答.