基于疲劳强度分布的双过渡P S N曲线研究

摘要： 以往研究发现，不同金属材料的疲劳寿命分布随着载荷水平的变化往往有不同的分布类型，而不同寿命对应的疲劳强度一般近似服从同一分布。基于“等效疲劳强度”概念可以合并不同疲劳寿命下的数据，在假定总体样本的疲劳强度服从正态分布的前提下，采用极大似然法进行参数估计。一些经典的模型如Strohmeyer模型，采用上述方法时往往在中周到高周或中周到低周的过渡段拟合效果不佳。对此，构建了一种含两个过渡段的中高周S N曲线并给出了适用于工程设计的P S N曲线。对ZL101A铝合金和BSM590结构钢两种材料分别开展含两个过渡区的中高周疲劳试验，对比Strohmeyer等模型发现：新提出的“双过渡”S N曲线在中小样本量下的拟合优度更好；相较采用升降法计算得到的疲劳极限，采用基于疲劳强度分布拟合得到的疲劳极限偏差均在3%以内，而采用新提出的S N曲线的计算偏差均小于1%；在中周到高周区的过渡段对比Dixon mood方法计算得到的结果，采用提出的S N曲线在过渡段精度分别达到92.2%和99.9%。

关键词： 应力 寿命曲线；疲劳强度；极大似然法；疲劳极限

DOI： 10.3969/j.issn.1001 2222.2025.01.010

中图分类号：TK422.4" 文献标志码： B" 文章编号： 1001 2222（2025）01 0067 09

随着航空、航天、汽车、船舶等行业向高温、高速的使用环境快速发展，越来越多极端工况下的金属材料部件需要考虑抗疲劳设计^［1］。《机械工程学科发展战略报告（2021—2035）》中指出，在机械结构强度与寿命领域的研究前沿包含发展基于概率统计理论的寿命设计，以实现精准的寿命预测^［2］。

通过传统的大样本统计方法来获取可靠的P S N曲线成本较大，根据GB/T 24176—2009《金属材料 疲劳试验 数据统计方案与分析方法》，要得到95%置信度下包含5%～95%失效概率的P S N曲线至少需要58个试样^［3］。针对寿命分布假设的小样本P S N曲线，过去主要做了以下研究。一类是基于大样本统计的方法进行改进。凌静等^［4］采用三参数非线性表达式和对数寿命服从正态分布的假设提出了一种基于小样本P S N曲线的极大似然测定方法。傅惠民等^［5］基于异方差回归分析理论实现了多母体联合推断的P S N小子样测试方法。李洪双等^［6］基于Bootstrap方法提出了一种估计任意置信度和任意可靠度下的C P S N曲线来改善小样本疲劳测试数据估计方法。谢里阳等^［7］基于“疲劳失效迹线”与疲劳寿命分布的相关假设提出了样本信息聚集原理，用于解决小样本拟合P S N问题。此外还有基于Bootstrap方法建立的三参数P S N拟合方法和基于物理信息的神经网络来构建小样本P S N的方法等^{［8 10］}。另一类是基于贝叶斯方法等融合历史信息与小样本试验数据进行统计推断，例如吕箴等^［11］提出了一种结合历史数据与当前数据的加权最小二乘法统计寿命分布的方法。除上述两类方法外，还有将S N曲线的参数视为随机变量的非嵌入式多项式展开的小子样方法等。以往这些方法的共性为在寿命分布形式已知的情况下外推P S N曲线，通过数据聚集的方法考虑总体概率分布，能有效扩充数据。然而大量研究表明，不同金属材料的疲劳寿命往往具有不同的分布类型，如对数正态分布、三参数威布尔分布，对于某些材料还可能会有混合分布等^{［12 16］}。因此这类方法在未能充分确定疲劳寿命分布类型时很难给出可靠的P S N曲线。

研究发现，在高周疲劳范围内疲劳强度分布基本服从正态分布^{［13 18］}。张艳斌等^［17］基于疲劳强度分布的统计方法结合线性损伤原理将中周区的数据点进行聚集，得到了小样本P S N曲线。S. HANAKI等^{［18 20］}基于“等效疲劳强度”的概念提出了对中高周区数据进行聚集的方法，采用最小二乘法拟合JSMS标准中多种S N曲线，发现与常规Probit分析最接近的S N曲线为Strohmeyer模型。试验结果在中周到高周和低周到高周过渡区的寿命分散性增加，一方面，单纯的线性模型不能直接拓展到中周到高周的过渡区，包含过渡区的线性S N曲线的斜率会更加平坦，另一方面，相关研究表明，S N曲线的拟合精度会随着靠近过渡区而增加^［21］，因此，在获取S N曲线时需要将低周到中周的过渡区考虑在内。

为了进一步提高模型精度和对材料疲劳极限的预测精度，本研究提出了一种表述包含两个过渡区的中高周疲劳S N曲线，并基于疲劳强度分布假设采用极大似然法得出了适用于工程设计的小样本高置信度P S N曲线。

1 双过渡S N曲线提出

在国家标准GB/T 24176—2009《金属材料 疲劳试验 数据统计方案与分析方法》中，最常用的S N曲线是在中寿命区对数应力与对数寿命为线性关系的幂函数^［3］：

S=aNb。（1）

式中：S为应力；N为循环次数；a和b为与材料相关的未知参数。将两边同时取对数即为ISO 12107—2012等标准中常用的Basquin曲线^［19］：

lgN=A1+B1lgS。（2）

式中：A1和B1为与材料相关的未知参数。根据相关研究，由Basquin拓展到低周区的形式^［21］为

lg（N－D11）=A2+B2lgS。（3）

考虑到对数寿命内取值范围，令D1=－D11，则

lg（N+D1）=A2+B2lgS。（4）

类似的方法拓展到高周区的形式为

lgN=A3+B3lg（S－S0）。（5）

式中：S0为疲劳极限，这里拓展到高周区的形式即Strohmeyer曲线。令A31=－A3/B3，B31=1/B3，将S0视作随机变量E，有：

lg（S－E）=A31+B31lgN。（6）

因此本研究在建立S N模型时主要考虑了3个因素（如图1）：首先，试样的寿命应当随着应力减少而增加，其变化过程近似服从双对数下的线性关系；其次，在某个应力水平下试样寿命可以达到理论上的无限寿命；最后，在中周区域分别与低周区域和高周区域的过渡区有曲线过渡段。

由式（2）可以得到：

lgS－B*lgN=A*。（7）

式中：B=1/B，A=－A/B。由于lgS－BlgN在中周区计算结果为常数项，因此符合材料在中周对数应力幅值和对数寿命为线性关系的基本规律。令B=（B1+B31）/（1－B2），A=（lgC+A2+A31）/（1－B2），代入式（7），有：

lgS－（B1+B31）（1－B2）lgN=（lgC+A2+A31）（1－B2）。（8）

改写为

lgS－B1lgN=lgC+A2+A31+B2lgS+B31lgN。（9）

联立式（4）、式（6）和式（9），有：

lgS－B1lgN=lgC+lg（N+D1）+lg（S－E）。（10）

根据式（10），本研究给出的双过渡S N曲线方程如下：

1（N－D1）（S－E）exp（lgS－B1lgN）=C。（11）

式中：E为与疲劳极限相关的未知参数，E＞0；D1为与低周过渡区相关的未知位置参数，D1＞0；B1为形状参数，B1＜0；C为未知常量。根据《航空金属材料疲劳性能手册》中的铝合金LY12CZ疲劳试验数据与统计结果^［22］，按照本研究给出的方法拟合S N曲线，结果见图2。

为了方便后续计算在“疲劳强度分布假设”下的应力，在满足E≠0的条件下求解方程（11），不妨令D=D1，B=B1，并将S改写为N的函数：

S=E－N^－BC（N+D）+1。（12）

应力幅值在S N曲线的分布有以下两点假设：

①不同循环次数下的应力分布近似相同；

②应力分布服从正态分布、对数正态分布或威布尔分布。

如图3所示，假设某次疲劳试验中循环次数为Ni，应力幅值S是对应Ni的随机变量，服从正态分布。根据“应力分布假设”，对于不同循环次数下的疲劳试验有σS1=σS2=…=σSn=σS，σSi为某个循环次数对应的应力幅值的标准差，σS为总体应力幅值的标准差。不同寿命下的应力分布具有相似的分位点，因此对应的密度函数如式（13）所示。

f（S，Ni，μi，σS）=1σS2πexp（－（Si－μi）22σ2S）。（13）

式中：μi=S（Ni）。

2 试验方法及结果

2.1 试验对象及基本力学性能

ZL101A铝合金与BSM590结构钢的化学成分如表1和表2所示。由拉伸试验得到室温时两种材料的拉伸屈服强度Sy、抗拉强度Su，如表3所示。

用于疲劳试验数据处理的试样如图4所示，试验根据GB/T 3075—2021《金属材料" 疲劳试验 轴向力控制方法》进行试样尺寸设计^［23］。由于试样表面微小的划痕都可能发展为裂纹扩展源，因此在两种试样加工完成后均进行了精细抛光。

2.2 试验方法及结果

根据GB/T 3075—2021《金属材料 疲劳试验 轴向力控制方法》和GB/T 26076—2010《金属薄板（带） 轴向力控制疲劳试验方法》，进行了在室温环境下的疲劳试验^{［23 24］}。疲劳试验采用QBG100疲劳试验机（见图5），试验频率为95 Hz。试验分为中等样本与小样本两组：ZL101A疲劳试验为中等样本，共使用37个试样，其中15个试样用于升降法试验；BSM590疲劳试验为小样本，共使用25个试样，其中10个试样用于升降法试验。试验结果如图6所示。

不同于传统的成组法试验流程，为了保证试验数据含低周到中周及中周到高周的过渡区的数据，试验时先采用单点试验法确定本轮试验的寿命分布范围，然后从接近中周区中部的试验开始成组试验，逐步向高载荷水平（或低载荷水平）接近的同时计算该组试验的变异系数，根据变异系数的变化来判断试验是否结束，如图7所示。

3 参数估计方法与拟合结果

3.1 应力分布假设下的极大似然法

假设应力的分布形式为正态分布，采用极大似然法求解曲线中未知参数的关键是构建似然函数L，使得事件发生的概率最大。根据参与拟合数据是否含有截断数据分为两种似然函数，其中不含截断数据时的似然函数如下：

L（S，Ni，μi，σS）=∏ni=1f（S，Ni，μi，σS）。（14）

根据W. NELSON^［25］的工作，在拟合含截断数据的S N曲线时应当考虑截断数据的影响，采用含有截断数据时的似然函数如下：

L（S，Ni，μi，σS）=∏ni=1［f（S，Ni，μi，σS）］^δi［1－F（S，Ni，μi，σS）］^1－δi。（15）

式中：F（S，Ni，μi，σS）为对应的分布函数；S为服从正态分布的应力幅值；Ni为疲劳试验的循环次数；μi为循环次数均值；σS为应力标准差；δi为计数量，当试样通过试验时（截断数据）δi=1，当试样提前断裂或失效时δi=0。针对所提出的模型，联立式（12）式（13）构建如下对数似然函数：

lg（L（S，Ni，μi，σS））=－12∑ni=1lg2π－∑ni=1lgσS－∑ni=1［SiE－Ni^－B/C（D+Ni）+1］22σS2。（16）

对式（16）中需要估计的参数求偏导并令其恒等于0，得出以下参数求解方程：

lg（L（S，Ni，μi，σS））σS=－nσS+∑ni=1［SiE－Ni^－B/C（D+Ni）+1］2σS2，（17）

lg（L（S，Ni，μi，σS））B=∑ni=1ENi^－BlgNi［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］－σ2SC（D+Ni）［－Ni^－BC（D+Ni）+1］2，（18）

lg（L（S，Ni，μi，σS））C=∑ni=1ENi^－B［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］－σ2S（D+Ni）［－Ni^－B（D+Ni）+C］2，（19）

lg（L（S，Ni，μi，σS））D=∑ni=1ENi^－B［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］σ2SC［Ni^－B－C（D+Ni）］2，（20）

lg（L（S，Ni，μi，σS））E=∑ni=1［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］σ2S［－Ni^－BC（D+Ni）+1］2。（21）

联立等式（17）至式（21）并使得各偏导项等于0，可求得未知参量。需要注意的是，σS，－B，C，D，E的取值均大于0。根据ISO 12107—2012中推荐的方法，曲线的拟合优度可以采用决定系数（coefficient of determination）R2来量化^［19］：

R2=∑ni=1（lgi－lg）2∑ni=1（lgYi－lg）2。（22）

式中：Yi为实际寿命值；i为某应力水平对应的寿命的预测值；为实际寿命的平均值。为了更准确地评估拟合结果对异常数据的敏感性，常采用均方根误差（root mean square error，RMSE）进行计算：

RMSE=1n∑ni=1（i－Yi）2。（23）

3.2 引用多个数据的拟合结果验证

为了验证所提出S N曲线方程的有效性与实用性，采用前述方法对如表4中32组数据进行参数拟合。

双过渡S N曲线、Strohmeyer曲线和Basquin曲线对以上数据的拟合结果如图8所示。从R2计算结果来看，拟合精度由大到小依次为双过渡S N曲线，Strohmeyer曲线，Basquin曲线。从RMSE计算结果来看，误差由大到小依次为Basquin曲线，Strohmeyer曲线，双过渡S N曲线，即双过渡S N

曲线对数据的整体解释性更好。从疲劳极限预测精度的整体计算结果来看，双过渡S N曲线的预测精度要好于Strohmeyer曲线。从样本数量变化来看，随着数据样本量的增加，数据的拟合精度结果趋于稳定。

4 试验数据拟合及结果验证

4.1 不同曲线的拟合情况对比

为了验证所提出的S N曲线在基于应力分布假设下的拟合方法的实用性，基于ZL101A和BSM590试验结果进行曲线拟合。结合ISO 12107—2012中推荐使用的Basquin曲线和Strohmeyer曲线，分别基于应力分布假设的极大似然法进行拟合，并与新提出的曲线进行对比，结果如图9所示。曲线的参数估计结果如表5所示，相关的拟合优度与疲劳极限预测精度如表6所示。

对于中等样本ZL101A试验数据的拟合结果，从拟合曲线的趋势来看，本研究提出的S N曲线比Basquin曲线和Strohmeyer曲线更能反映数据的变化趋势，其决定系数R2为0.76；从疲劳极限的预测精度来看，新提出的S N曲线对疲劳极限的预测精度要稍好于Strohmeyer曲线。对于小样本BSM590试验数据的拟合结果，从拟合曲线的趋势来看，本研究提出的S N曲线比Strohmeyer曲线更能反映数据的变化趋势，其决定系数R2为0.88；从疲劳极限的预测精度来看，Strohmeyer模型的预测精度要稍差于新提出的S N曲线。总体来看，新提出的S N曲线对疲劳极限的预测精度和拟合优度在中、小样本的数据量上均表现较好，主要是因为新提出的曲线参数量要多于其他模型，因而在曲线的过渡段变化更灵活。

此外，在过渡区拐点处的实际载荷应当采用Dixon mood所提出的方法进行计算，这里截断数据的截断位置为Basquin曲线的拐点Nd。因此Nd所对应的实际载荷水平可以采用如图10所示的方式进行计算，ZL101A数据的计算结果为Nd1=10 986 800，载荷水平Sd1=72.3 MPa；同理，BSM590数据的计算结果为Nd2=1 373 410，载荷水平Sd2=264 MPa。对于Strohmeyer模型，在ZL101A材料和BSM590材料的曲线拐点处的载荷计算偏差分别为7.3%和0.7%；对于本研究提出的模型，在ZL101A材料和BSM590材料的曲线拐点处的载荷计算偏差分别为4.8%和0.1%。上述结果表明，本研究所提出的S N曲线在过渡段的表现优于Strohmeyer模型，疲劳极限的预测偏差也更小；拟合精度在小样本中的表现更好。

4.2 新S N曲线的P S N拟合结果验证

基于应力分布假设采用极大似然法来拟合新提出的P S N曲线。对于中等数量试验的ZL101A样本，一共有29个数据点参与拟合，最佳拟合所计算出的σS=10.8。利用这一分析结果，可以根据每个给定循环次数疲劳强度分布的百分位数绘制P S N曲线，如图11a所示。在参与拟合的失效数据点中，29个失效点中有21个（72.4%）位于第10和第90百分位（80%的范围），29个失效点中有24个（82.8%）位于第5和第95百分位（90%的范围），28个点（96.6%）位于第1和第99百分位（98%范围）。对于小样本试验的BSM590样本，一共有15个数据点参与拟合，最佳拟合所计算出的σS=7.9。利用这一分析结果，可以根据每个给定循环次数的疲劳强度分布的百分位数绘制P S N曲线，如图11b所示。在参与拟合的失效数据点中，15个失效点中有12个（80%）位于第10和第90百分位（80%的范围），15个失效点中有13个（86.7%）位于

第5和第95百分位（90%的范围），14个点（93.3%）位于第1和第99百分位（98%范围）。因此百分位带与试验数据吻合较好。

为保证疲劳强度分布假设的准确性，国标GB/T 4882—2001《数据的统计处理和解释 正态性检验》对于数据量在8～50时推荐采用Shapiro Wilk检验^［34］。对拟合结果进行正态检验，残差统计结果见图12。

对于ZL101A中等样本数据，样本量n=29且给定α=0.05时的p分位数为0.63，由于计算得到的检验统计量W为0.97，大于该p分位值，因此在显著水平α=0.05时不拒绝原假设。同理，计算BSM590小样本数据时在显著水平α=0.05时计算得到的p分位数为0.16，且检验统计量W为0.87，不拒绝原假设。根据上述分析结果可知，采用本方法在中等样本数据（ZL101A）中应用所得到的置信度95%下的P S N曲线在失效率为5%～95%范围所使用的试样数仅为常规成组法的50%，而更小样本（BSM590）使用试样数仅为常规成组法的26%。

5 结论

a） 提出的方法在中等样本数据（ZL101A）中应用所得到的95%置信度下的P S N曲线在失效率为5%～95%范围所使用的试样数仅为常规成组法的50%；

b） 从超过30种引用数据中，双过渡S N曲线方程计算所得到的疲劳极限偏差精度要高于Strohmeyer方程；在两种实测验证数据中，两种曲线的疲劳极限预测精度均在3%以内，其中计算偏差最小的是本研究所提出的S N曲线，其结果偏差均小于1%；

c） 新提出的S N曲线在超过30种引用数据中的拟合精度均优于Strohmeyer和Basquin方程；其中对于实测数据，中样本的R2为0.76，远大于其他两种方程的拟合结果（0.68和0.66），而小样本的R2为0.88，结果优于其他两种方程（0.85和0.83），有很好的工程应用价值。

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Double Transition P S N Curve Based on Fatigue Strength Distribution

JING Guoxi^1，2，SU Yue^1，2，TAO Shuai^1，2，SONG Yali3，TU Danhong3，SUN Tengteng^1，2

（1.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China;

2.Tianjin Key Laboratory of Power Transmission and Safety Technology for New Energy Vehicles，Tianjin 300130，China;

3.China Shipbuilding POWER Engineering Institute Co.，Ltd.，Shanghai 201306，China）

Abstract： Previous studies have found that the fatigue life distributions of different metallic materials tend to have different types of distributions with changes in load levels， while the fatigue strengths corresponding to different lifetimes generally follow the same distribution. Based on the concept of equivalent fatigue strength， the data could be combined under different fatigue lifetimes， and the parameter estimation was carried out by the great likelihood method under the assumption that the fatigue strength of overall samples followed normal distribution. Some classical models， such as the Strohmeyer model， often exhibited poor fitting in the transitional segments from medium to high cycles or from medium to low cycles when using the above method. To address this issue， a middle high cycle S N curve with two transition segments was constructed， and a P S N curve suitable for engineering design was provided. Fatigue tests incorporating two transition zones were conducted on ZL101A aluminum alloy and BSM590 structural steel， and comparisons with Strohmeyer model revealed that the newly proposed dual transition S N curve provided the better fitting goodness with medium and small sample sizes. Compared to the fatigue limit calculated using the lifting method， the deviations of fatigue limits derived from the fatigue strength distribution fitting were all within 3%， while the calculation deviations of the newly proposed S N curve were all less than 1%. In the transitional segment from medium to high cycles， compared with the results calculated using the Dixon mood method， the accuracy of the proposed S N curve reached 92.2% and 99.9%， respectively.

Key words： stress life curve;fatigue strength;maximum likelihood method;fatigue limit

［编辑： 袁晓燕］