简化的轴压砌体随机损伤本构关系研究

摘 要：【目的】砌体是土木工程的主要材料之一，其受压本构关系是砌体结构分析中的基本物理方程，而砌体本构关系存在显著的离散性，有必要建立能反映此特征且计算简便的本构关系。【方法】基于轴心受压砌体破损机制和细观单元损伤模型，建立轴压砌体弹塑性本构关系，通过引入细观单元破坏应变的随机场，从离散型和连续型两个维度推导损伤和应力的均值及标准差表达式，并以此做进一步分析和简化。【结果】建立了基于材料强度的参数确定方法，得到易于计算和应用的本构关系及其离散范围，分析得出轴压砌体随机应力—应变关系，并利用已有的试验结果加以验证，二者吻合良好。【结论】简化的轴心受压砌体随机损伤本构关系可为砌体结构分析提供参考。

关键词：砌体；本构关系；轴压；随机损伤

中图分类号：TU362" " " 文献标志码：A" " 文章编号：1003-5168（2025）01-0069-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.01.013

Research on Simplified Random Damage Constitutive Relationship of Axially Loaded Masonry

ZHENG Yanfang1 GAO Hui2 FAN Jun3

（1.Henan Provincial Construction Engineering Fire Technology Center， Zhengzhou 450000， China; 2.Henan Tonghui Road and Bridge Engineering Co.， Ltd.， Zhengzhou 452470， China; 3.Henan Provincial Construction Science and Technology and Talent Development Center， Zhengzhou 450000， China）

Abstract： [Purposes] Masonry is one of the main materials in civil engineering， and its compressive constitutive relation is the basic physical equation in the analysis of masonry structure，and since there is a significant discreteness in the constitutive relationship of masonry， it is necessary to establish a constitutive relationship that can reflect this feature and is easy to calculate. [Methods] Based on the damage mechanism of axial compression masonry and the damage model of" microscopic unit， the elastoplastic constitutive relation of axial compression masonry was established， the mean and standard deviation expressions of damage and stress are derived from the discrete and continuous dimensions， and are further analyzed and simplified. [Findings] The method of determining the parameters based on the material strength was established， and the constitutive relation and its discrete range were obtained， which were easy to be calculated and applied， and the analysis of the random stress-strain relationship of axial compression masonry is verified by the existing test results， which are in good agreement with each other. [Conclusions] The simplified random damage constitutive relation of axial compression masonry can be used for reference in the analysis of masonry structure.

Keywords： masonry; constitutive relationship; axial compression; random damage

收稿日期：2024-07-29

基金项目：河南省基础与前沿技术研究项目（112300410242）。

作者简介：郑艳芳（1974—），女，本科，高级会计师，研究方向：建筑经济与管理。

0 引言

砌体本构关系是砌体结构分析的基本物理关系，受到越来越多的研究者关注，杨卫忠［1］、刘桂秋等［2］、董广萍等［3］和牛力军等［4］利用弹簧模型和力学理论研究了砌体的本构关系，其弹塑性材料本构关系可分为弹性损伤和弹塑性损伤两类。基于不可逆热力学原理和随机场理论建立起来的随机损伤本构关系，因其具有坚实的理论基础，同时又能描述材料的弹塑性、应变强化和软化、离散性等特征，已在砂浆［5］、混凝土［6］、砌体［7］等材料本构关系的研究中得到诸多应用。但是，计算和参数的确定复杂是已有随机损伤本构关系的弊端。因此，本研究以轴心受压砌体的随机损伤本构关系模型为基础，研究其模型参数的简化确定方法及表达，为砌体随机损伤本构关系的推广应用提供依据。

1 轴压砌体的随机损伤本构关系

1.1 细观损伤模型

将轴心受压砌体试件在细观层次离散为若干个弹塑性元件串并联组成的联合体，分析其轴向应力—应变关系时可进一步等效为细观单元的并联模型，如图1所示［7］。 模型中的每个细观单元通常假定为具有相同的截面面积和弹性模量，而破坏应变则为服从某一分布的随机变量。与已有的损伤型本构关系一样，模型中的每个单元体两端通过刚性体相连，从而确保每个细观受力单元体有相同的变形。因此，组成试件的总应变[ε]由微弹簧的弹性应变[εe]和微裂缝面上的塑性应变[εn]组成，即[ε=εe+εn]。

1.2 损伤变量与随机本构关系

采用经典损伤力学来定义损伤变量D，即式（1）。

[D=ADA]" （1）

式中：[AD]是模型中的细观单元体破坏而引起砌体退出工作的面积；A则是无损伤砌体试件的受力截面面积。

若图1模型中的细观单元总数目记为N，根据式（1）的定义，则可导出为式（2）。

[D=1Ni=1NH（εe-Δi）]" "（2）

式中：[Δi]为第i个细观单元发生破坏时的弹性应变；[H（⋅）]为Heaviside 函数，即式（3）。

[H（εe-Δi）=0，εe≤Δi1，εegt;Δi]" " "（3）

由于[Δi]具有随机场的性质，所以损伤变量[D]就为随机变量。

用[Em]来表示细观单元体的弹性模量，细观单元的应力即为弹性模量与其弹性之乘积。由于宏观砌体试件在轴心受压可比拟为图1所示的细观物理模型，易于利用力学原理中的平衡条件来建立本构关系模型。在这里，此条件可表述为外加在砌体试件上的宏观压力必须等于细观模型中所有未破坏的单元体内合力的总和。利用损伤的定义，再结合上述每个单元体的弹性应变和弹性模量均相同，得到试件的宏观应力，见式（4）。

[σ=i=1NEmεe1-H（εe-Δi）AiA]" "（4）

利用式（1）和式（2）的结果，式（4）即可变换为式（5）。

[σ=Emεe（1-D）]" " " "（5）

因此，式（5）即轴压砌体的随机本构关系。当不考虑砌体受压时微裂缝面的变形时，此式就是早期的弹性随机损伤本构关系。若不考虑损伤变量的随机性，即为一般意义上的确定性本构关系。

2 损伤和应力的均值与方差分析

2.1 损伤的均值与方差

本研究假定模型中的破坏应变[Δi]是一个各向同性、服从对数正态分布均匀随机场，其数学期望与标准差分别为[μΔ]与[σΔ]。选择对数正态分布均匀随机场主要是为了满足计算中的极限应变应为非负的要求［7］。进一步利用概率理论中的随机变量均值和方差的定义，即可得到损伤变量的均值，见式（6）。

[μD=ED=E[1Ni=1NH（εe-Δi）]=1Ni=1NE[H（εe-Δi）]=FΔ]" "（6）

式中：[FΔ=ProbΔilt;εe]为第i个单元体的破坏极限应变的一维概率分布函数。损伤变量的方差则为式（7）。

[V2D=ED2-ED2=1NFΔ+2γ=1N-1（1-γN）FΔΔ-F2Δ] （7）

式中：[FΔΔ=ProbΔk≤εe⋂Δj≤εe]为随机变量[Δk]和[Δj]的联合概率分布函数，其中[γ=k-j]。

当单元体数目N趋于无穷大时，模型中的等效单元体就等价为一维的连续体，其破坏时的应变可以假定为连续随机场。本研究略去一些复杂的数学推导，直接给出损伤的均值和方差的表达式 ，分别为式（8）和式（9）。

[μD=0∞01Hεe-yfΔy;xdxdy=FΔ]" " （8）

[V2D=2011-γFΔΔdγ-F2Δ]" "（9）

式中：[fΔy;x]为破坏应变在位置[x]处的一维概率分布密度函数，不失一般性，[x]假定介于0和1之间。进一步定义随机场参数[λ]和[ζ]，分别见式（10）和式（11）。

[λ=ElnΔ（x）=lnμΔ1+σ2Δμ2Δ]" " （10）

[ζ2=VarlnΔ（x）=ln1+σ2Δμ2Δ]" "（11）

因此，[Z（x）=lnΔ（x）]就是一个服从正态分布的均匀随机场，相应地，数学期望与标准差分别是[λ]和[ζ]。进一步假定该随机场的相关性呈指数衰减［7］，其相关系数函数见式（12）。

[ρz=exp-ξγ]" " " " " "（12）

式中：[ξ]为相关参数。

上述分析表明，只要确定了随机场参数[λ、ζ、ξ]，就可以确定一维概率分布函数[FΔ]和二维联合概率分布函数[FΔΔ]，分别见式（13）和式（14）。

[FΔ=Φlnεe-λζ]" " " " "（13）

[FΔΔ=0εe0εe12πxyζ21-ρ2z⋅exp-12ζ21-ρ2z]

[lnx-λ2-2ρzlnx-λlny-λ]

+[lny-λ2][dxdy] （14）

式中：[Φ⋅]是标准正态分布函数。

2.2 应力的均值与方差

由于细观模型中的损伤变量[D]属于随机变量，将弹性模量也考虑为随机变量，分别用[μE]和[V2E]来表示弹性模量的均值和方差，而且假定为弹性模量与损伤相互独立。对式（4）的本构关系式，利用概率论原理得出宏观应力属于随机变量的结论。相应地，应力的均值和方差就可通过对式（4）计算数学期望和方差得到，分别见式（15）和式（16）。

[μσ=Eσ=μEεe1-μD]" "（15）

[V2σ=Eσ2-Eσ2=ε2eV2E1-μD2][+V2Dμ2E+V2E]" （16）

当随机场中的任意两个随机变量统计独立时，则联合概率分布函数[FΔΔ]与[γ]无关，此时的[FΔΔ]等于一维概率分布函数[FΔ]的平方，相应地，损伤方差即等于0。若不考虑弹性模量的变异性，应力方差也变为0，上式则为确定性损伤本构关系。

3 随机损伤本构关系的简化

上节分析得到的随机损伤本构关系理论基础坚实，但是建立在弹性应变的基础上，且随机场参数需要通过随机建模等方法加以确定，也与传统的应力—应变关系式不同，有必要做进一步分析和简化，其核心是损伤均值和标准差的计算。

3.1 应力均值计算

将均值层面上的轴压砌体随机应力—应变关系改写为一般的损伤型表达式，见式（17）。

[σ=Emε1-D]" " （17）

通过对上述理论推导均值损伤进行分析，可采用如下分式进行简化，即式（18）。

[D=1-χ1χ1+（1-χ1）ε/εpχ2]" （18）

式中：[εp]为应力—应变曲线峰值点处的应变；[χ1、χ2]为待定系数，可利用曲线的原点和峰值点的两个特征点条件来确定，即式（19）。

[χ1=fmEmεp]，[χ2=EmεpEmεp-fm]" "（19）

式中：[fm]为应力—应变曲线峰值点处的应力，即为砌体轴心抗压强度。

3.2 应力标准差计算

利用变异系数的定义，并引入[δσ=Vσμσ]和[δE=VEμE]，利用式（15）和（16），可得式（20）。

[δσ=δ2E+V2D1+δ2E1-μD2]" "（20）

通过对损伤方差的分析并利用高等数学中近似计算理论，式（20）可简化为式（21）。

[δσ=δE+12-12D2ξD2]" "（21）

相应的应力标准差即为式（22）。

[Vσ=δσEmε1-D]" " （22）

4 验证与分析

为了检验上述推导和简化分析的合理性，这里以曹文文［8］研究中的一组粉煤灰砖砌体轴心受压试验结果作为例，本研究分析的弹性模量、峰值应力及其对应的应变分别取用试验结果的平均值，即分别为1 008 MPa、3.60 MPa和4 700 με，而相关系数取153，弹性模量的变异系数取0.08。

利用上述分析得到的公式进行轴心受压砌体的随机损伤本构关系计算，可以得到简化分析的应力均值—应变、应力均值±1.645倍标准差和应力标准差—应变的关系曲线，简化分析结果与试验结果的对比分别如图2和图3所示。

由图2和图3可知，采用简化分析得到的轴心受压砌体随机损伤本构关系无论是均值还是方差层面，均具有良好的一致性，可以较好地预测砌体受力试件的全过程应力响应。与传统的确定性本构关系相比，简化的随机损伤本构关系也能够较好地预测其离散性，试验值大多数在均值±1.645倍标准差的范围内。

5 结语

本研究在轴心受压砌体的随机损伤本构关系的基础上，结合损伤特征并对损伤和应力的均值及标准差进行分析，建立简便的计算方法，从而得到均值层面上的轴心受压砌体应力—应变关系及其离散范围，初步验证了本研究简化方法的合理性。与已有通用有限元分析软件相结合，不仅能得到砌体结构均值层面上的应力及变形，而且能预测其离散范围，为结构的精细化分析提供了新途径。

参考文献：

［1］杨卫忠.砌体受压本构关系模型［J］.建筑结构，2008，38（10）：80-82.

［2］刘桂秋，颜友清，施楚贤.砌体受压本构关系统一模型的研究［J］.湖南大学学报（自然科学版），2009，36（11）：6-9.

［3］董广萍，杨卫忠，樊濬.砌体本构关系的研究新进展［J］.河南科学，2016，34（1）：50-54.

［4］牛力军，张文芳.砖砌体双参数单轴受压弹塑性损伤力学模型［J］.力学与实践，2017，39（1）：35-39.

［5］DOUGILL J W. A mathematical model for the failure of cement paste and mortars［J］.Magazine of Concrete Research， 1967， 19（60）：135-142.

［6］ KANDARPA S， KIRKNER D J ，JR B F S. Stochastic damage model for brittle materials subjected to monotonic loading［J］.Journal of Engineering Mechanics， 1996， 122（8）：788-795.

［7］杨卫忠，曹文文，王茜.轴压砌体随机损伤本构关系研究［J］.郑州大学学报（理学版），2013，45（2）：104-108.

［8］曹文文.砌体随机损伤本构关系的研究［D］.郑州：郑州大学，2011 .