对一道概率模拟试题的变式探究

摘"要"本文分析了一道以二项分布为背景的模拟试题，分别从质点运动方向以及概率等视角进行变式探究，为该板块的教学提供了建设性参考.

关键词"二次分布；条件概率；期望

一、问题呈现

题1"（人教A版选择性必修三第87页习题7.4第3题）如图1，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.共移动6次，求下列事件的概率.

（1）质点回到原点；（2）质点位于4的位置.

题2"（2024年佛山市第二次模拟测试第17题）如图1，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置Xn.（1）求P（X4=－2）；（2）求E（Xn）；（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由.

分析"通过观察易知题2源至于题1.题2是在题1的基础上进行了优化以及深入探究，题1的题干中提到了时间的因素，但是在解题的过程并没有进行考察.在题2中优化了该条件.其次，题1仅考察了特定的运动次数（6次）下，质点所在位置的概率，仅为题2中的第（1）问.题2的第（2）问考察了一般化运动次数下的期望值；第（3）问考察了在一般情况下，概率的最值问题.

题2是题1的完美升级版，体现了源于教材且高于教材的命题理念.其次，命题设问的规律也是从特殊到一般，帮助学生适应模型，搭建适当地脚手架，逐步深入到模型的本质.总体而言，试题设问合理，选择的也是学生熟悉的背景，是一道难得的好题.因为两题的背景一样，本文在后续的解答中仅以题2为例进行解答.

二、解法分析

解决该问题的前提在于选择恰当地随机变量，题干刻意选择质点的位置作为随机变量，对考生而言有一定的误导性.但是经过题1的训练后，我们需要选择在n次运动中“向左”或“向右”的次数作为基本的随机变量.在以两个变量间的线性关系式求得Xn的相关信息.

不妨设在n次运动中“向左”的次数为ξn，则可得向右的次数为n－ξn，则可得Xn=n－ξn－ξn=n－2ξn.根据题干信息，质点每次等可能地向左或向右移动一个单位，可得ξn～B（n，12）.

在第（1）问中，n=4，当X4=－2时，可得ξn=3.即P（X4=－2）=P（ξ4=3）=C34124=14.

对于第（2）问，根据二项分布的性质可知E（ξn）=n2，根据随机变量间的线性关系可得E（Xn）=E（n－2ξn）=n－2E（ξn）=0.

对于第（3）问，P（ξn=k）=Ckn12n=Ckn2n，根据杨辉三角形的性质可知，当n为偶数，即k=n2时，Ckn取到最大值，对应的P（ξn=k）取到最大值，此时Xn=0，即可知质点最有可能位于0；

当n为奇数，即k=n+12或k=n－12时，Ckn取到最大值，对应的P（ξn=k）取到最大值，此时Xn=±1，即可知质点最有可能位于±1.

根据上述解答过程可知，问题中的质点只是在一个数轴上运动，两个方向仅由一个随机变量即可进行表示.

三、变式探究

经过探究，我们可以从以下三个方面对问题进行变式研究.

（ⅰ）将质点运动放置在平面上或立体空间中，研究多个方向上的运动规律

变式1"如图2，在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从位置原点O出发，每次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，设移动n次后质点位于位置（Xn，Yn）.

（1）求P（（X4，Y4）=（2，1））；（2）求E（Xn）+E（Yn）；（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由.

简解"设在n次运动中，“左右移动”的总数为k，“上下移动”的总数为n－k.不妨设在k次运动中“向左”的次数为ξn，则可得向右的次数为k－ξn，则可得Xn=k－ξn－ξn=k－2ξn.设在n－k次运动中“向上”的次数为ηn，则可得向下的次数为n－k－ηn，则可得Yn=ηn－（n－k－ηn）=2ηn+k－n.

易知ξn～B（k，12），ηn～B（n－k，12）.当（X4，Y4）=（2，1）时，（ξ4，η4）=（1，1），且k=3，对应的概率为P（X4，Y4）=P（（ξn，ηn）=（1，1））=C13122·C1112=316.

根据二项分布的性质E（ξn）=k2，E（ηn）=n－k2，可得E（Xn）=0，E（Yn）=0.从而可得E（Xn）+E（Yn）=0成立.

根据上述分析可知，质点所在的位置由质点向不同方向上的运动数量相关.归根到底，其概率的最大值由左右运动总数以及上下运动总数的奇偶性决定.当n为偶数时，则可得k以及n－k的奇偶性相同，此时质点最有可能位于（0，0）或（±1，±1）；当n为奇数时，则可得k以及n－k的奇偶性不同，此时质点最有可能位于（0，±1）或（±1，0）.

笔者认为此时的第（3）问不适合作为测试的问题，在具体的考察中可通过确定部分条件进行考察.如明确左右运动的总数以及总的运动次数等等，对于空间类的变式即可类比推出，本文不再赘述.

（ⅱ）改变相应的概率值，将问题一般化

变式2"如图1，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次均需向左或向右移动一个单位，设向左运动的概率为p，设移动n次后质点位于位置Xn.（1）求E（Xn）；（2）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由.

简解"根据上述分析，ξn～B（n，p），E（ξn）=np，根据随机变量间的线性关系可得E（Xn）=E（n－2ξn）=n－2np=n（1－2p）.

对于第（2）问，P（ξn=k）=Cknpk（1－p）n－k，为了求得其最大值，令P（ξn=k）≥P（ξn=k－1）且有P（ξn=k）≥P（ξn=k+1），计算可得p（n+1）－1≤k≤p（n+1）.

当p（n+1）为整数时，p（ξn=k）的最大值有两个，即当k=p（n+1）及k=p（n+1）－1时，原概率均取得最大值；当p（n+1）不是整数时，P（ξn=k）的最大值仅有一个，即当k=［p（n+1）］（［p（n+1）］表示p（n+1）的整数部分）时，原概率均取得最大值

再根据Xn与ξn间的关系，当p（n+1）为整数时，质点最有可能位于（1－2p）n－2p或（1－2p）n+2－2p；当p（n+1）不是整数时，质点最有可能位于n－2［p（n+1）］.

（ⅲ）增加条件概率及全概率公式，体现概率的应用性

变式3"如图1，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次均需向左或向右移动一个单位，当上一次向左运动后，下一次再向左运动的概率为p；若上一次向右运动后，下一次向左运动的概率为q（q≠p）.第一次质点向左或向右运动的可能性相同，设移动n次后质点位于位置Xn.求E（Xn）.

简解"设第i向左运动的概率为ai，则a1=12.当i≥2时，ai=pai－1+q（1－ai－1），整理得ai=（p－q）ai－1+q.计算可得{ai－q1+q－p}是首项为12－q1+q－p，公比为p－q的等比数列，据此可得ai=q1+q－p+12－q1+q－p·（p－q）i－1.

此时我们可将n次运动视为n个独立的两点分布，将第i次运动中向左运动记为1，向右运动记为0，第i次运动的期望记为E（i）=ai.经过n次两点分布的叠加，在n次运动中总的向左运动的次数ξn的期望E（ξn）=∑ni=1E（i）=qn1+q－p+（1－q－p）［1－（p－q）n］2（1+q－p）2.

再根据Xn与ξn的关系得E（Xn）=（1－p－q）n1+q－p－（1－q－p）［1－（p－q）n］（1+q－p）2.

在该视角的设问中，笔者没有研究质点最有可能位于哪个位置.与视角二中的问题相比，视角二中的问题为二项分布，即n个相同的两点分布进行的叠加；而在视角三中则是n个不同的两点分布进行的叠加，在n次运动中总的向左运动次数的概率表达式过于复杂.笔者认为不适合作为学生的练习，本文就放弃了对该问题的探究.

在具体的变式练习中，可将上述三种思路进行叠加，即在平面状态下考虑一般概率或条件概率时的情况，从而命制出新的变式问题，本文不再继续探究.

四、教学建议

通过学生考试后的数据分析，学生在本题的得分率并不理想.究其原因主要在于对背景的理解不够深入，无法识别出其中所蕴含的二项分布.

但通过挖掘教材发现了该模拟试题源自于课本，说明我们在复习备考的过程中对教材的重视程度不足，过于重视教辅资料.高考题都是源于教材，且高于教材的试题，建议在复习备考的过程中，重视课本习题的训练与掌握.

其次，在原有教材习题的基础上，还需要掌握一定的变式研究的能力.

最后，对于研究变式问题，笔者认为有如下几种基本范式供大家参考：（1）改变试题中的参数：如将“一维”改为“二维”，将特殊转化成一般；（2）更改题干与问题的位置；（3）加入新的知识点，设置新的考点；（4）从问题中抽象出解题方法，将其迁移至其他问题；（5）领悟问题中所蕴含的数学思想，将该思想迁移至其他情境中，命制出新的问题.