材料力学能量法四种不同讲授方式

摘"要：材料力学能量法的教学一般安排在杆件受力变形、强度理论及压杆失稳之后，单独成为一个章节，与结构力学、弹性力学等后续课程紧密衔接，能量法的学习对于学生采用全新视角分析力学问题十分重要。该文阐述能量法经典讲授思路，包括应变能与加载顺序无关、功的互等定理、外力功/余功和应变能/余能的转换和虚位移原理及虚力原理四种推导方式。旨在，其一，聚合不同思维方式，帮助学生理解能量法知识体系，启发学生科学思维与创新精神；其二，分析不同讲授方法的特点及不同本科专业的适用性，以针对不同人才培养模式合理安排课程内容。

关键词：材料力学；能量法；卡氏定理；虚位移原理；单位荷载法

中图分类号：G640"""文献标志码：A"""""文章编号：2096-000X（2025）01-0001-07

Abstract：EnergyMethodsinMaterialMechanicsisgenerallyarrangedafterthestressandstrainanalysisinmostmaterialmechanicsbooks.Itiscloselylinkedtocoursesofstructuralmechanicsandelasticmechanicsforundergraduatestudents.Thispapersummarizesfourtypicalclassteachingwaysfortheenergymethods.Acomprehensivereviewoftheenergymethodsisfirstprovided.Then，comparisonofthedifferentteachingwaysandtheirapplicabilitytodifferentundergraduatemajorsareprovidedinordertoarrangemoresuitableteachingcontents.

Keywords：materialmechanics;energymethods;Castigliano'stheorem;principleofvirtualdisplacement;unit-loadmethod

材料力学是工程力学、土木工程、矿业工程等工科专业的一门十分重要的专业基础课，具有很强的工程与应用背景，它是衔接高等数学、线性代数、理论力学等基础理论课程到结构力学、弹性力学、有限元方法、钢筋混凝土等专业课程的桥梁，对学生从理论知识学习到尝试解决实际工程问题具有重要的过渡作用[1]。能量法作为材料力学课程的一个核心模块，不仅对于学生巩固材料力学基本知识、理解全新的分析问题思路具有重要意义，同时对后续课程中核心知识点理解具有重要的衔接作用[2]，尤其是近年来随着计算力学的快速发展，能量法的学习更应受到重视[3]。

能量法是指利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力的方法[4]，能量原理建立在经典力学之后，被看作是19世纪最重要的发现之一，能量原理中克拉珀龙定理（Clapeyron'stheorem）、卡氏第一和第二定理（Castigliano'sfirstamp;secondtheorem）、克罗蒂－恩盖塞定理（Crotti-Engesser'stheorem）、麦克斯韦互等定理（Maxwell'sreciprocaltheorem）、虚功原理等伴随和影响着近现代力学、计算力学的发展。

由于能量法的特殊性与重要性，当前国内外大多教材[3-9]均将能量法安排为一个单独的章节。涉及杆件受力变形过程中外力功的计算、杆件内部存储的应变能计算、卡氏第二定理、变形体的虚位移原理和单位荷载法的内容，部分教材会同时安排互等定理、余能的计算、余能定理（克罗蒂－恩盖塞定理）、卡氏第一定理和图乘法等内容的介绍，以便和后续结构力学等课程紧密配合。能量法知识点多，理论性强，对学生的数学知识、力学基础知识和逻辑思维能力要求较高，是材料力学课程教与学公认的一个难点[10]，学生普遍反映能量法学习困难，难以建立起能量法核心知识体系。

利用有限的课堂讲授学时，合理安排讲授能量法讲授内容，系统优化力学课程相关知识点教学，帮助学生逐渐建立起能量原理知识体系并逐渐具备解决实际问题的能力，值得深入探讨[11-13]。

本文总结了普通高等教育本科国家级规划教材、面向21世纪课程教材、国外相关专业使用的经典教材以及网络公开课资源，总结归纳了四种不同的能量法教学思路，旨在帮助学生逐渐理解能量原理内涵，启发学生创新思维，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维，为后续专业课程的学习打好基础。同时进行了对比分析，探讨了不同讲授方法在不同专业中的适用性，旨在帮助更合理地安排适用于各专业人才培养的课程内容。帮助学生逐渐具备利用所学知识创新性地解决实际专业问题的能力，为提升课程的高阶性，突出课程的创新性，增加课程的挑战性提供参考。

一"能量法的四种讲授方式

对于材料力学能量法讲授来说，首先应明确应变能的概念，尤其是线弹性杆件应变能的计算。对于一般弹性材料情形，随着杆件上广义力F的增加，广义位移Δ逐渐增加，二者关系如图1所示。外力功为图示从Δ=0到Δ=Δ1之间F-Δ曲线下围成的面积，不考虑加载过程中的能量损耗，外力功W转换为积蓄在杆件内部的应变能Vε，即

各教材一般会说明弹性体应变能的特征：①应变能恒正，与坐标系选取无关；②应变能仅与荷载的最终值有关，而与加载顺序无关；③线弹性范围内，应变能为内力或相应变形的二次函数，也可表示为广义力或位移的二次函数，导致计算应变能时叠加原理不适用。

在学习过杆件基本变形应变能表达形式后，上述①和②容易理解。②中不同书籍给出了不同的说明，其中一个结合材料力学课程前述内容较易理解的思路：线弹性小变形情形下杆件的变形可通过叠加原理求得，无论多个广义力何种方式何种顺序施加到其最终值，与之对应的杆件上的变形为确定值。而应变能是由于杆件变形而存储的能量，变形一定的情况下杆件内存储的应变能为确定值。

在明确了应变能的基本概念，尤其是线弹性范围内杆件的应变能的特征后，不同教材在安排与能量法相关的其余内容及其讲授方法时出现了较大不同，不同学者也针对能量法的教学给出了不同的建议[2，10，14-19]。此处列出四种典型的讲授思路，重点关注卡氏定理的推导。

（一）"通过应变能与加载顺序无关推导

国内广泛使用的教材[3]及大多数国外教材[8-9，20]都借助了应变能与加载顺序无关来进行卡氏第二定理的证明。如图2所示，弹性体上作用了n个广义外力，分别为F1，F2，…，Fi，…，Fn，与之对应的弹性体上的广义位移分别为1，2，…，i，…，n。这些广义力在施加过程中在相应的广义位移上做功。对于弹性体来说，广义位移可以表示为广义力的函数？驻i=f1（F1，F2，…，Fi，…，Fn），同样广义力也可以表示为广义位移的函数Fi=f2（1，2，…，i，…，n）。在不考虑能量损失的情况下，应变能由外力功转换而来，因而应变能可以表示为Fi或？驻i的函数

当其中一个广义力Fi有一微小增量dFi，根据高等数学偏微分知识，由式（2）表示的应变能增量可写为dVε=■dFi，此时杆件上的总应变能为Vε+■dFi。对于线弹性体这种特殊情况来说，如果调换加载顺序先施加dFi，此时与dFi对应的广义位移为di，应变能为■dFidi。之后再作用F1，F2，…，Fi，…，Fn，此时虽然已经有dFi的作用，由F1，F2，…，Fi，…，Fn引起线弹性体对应的广义位移大小同样为1，2，…，i，…，n，导致的应变能依旧为Vε。注意F1，F2，…，Fi，…，Fn施加过程中，已经施加的dFi会在广义位移i上做功，且为常力做功，大小为dFii。按新的加载次序，杆件内存储的应变能为■dFidi+Vε+dFii。

由于应变能和加载顺序无关，两次不同加载顺序最终的应变能应相等，略去高阶微量■dFid？驻i并化简后可得卡氏第二定理

即线弹性体应变能对于广义力Fi的变化率等于与该广义力Fi对应的广义位移？驻i。在讲授过程中应特别强调上述推导仅适用于线弹性体，即先作用F1，F2，…，Fi，…，Fn或者先作用dFi，由于F1，F2，…，Fi，…，Fn导致的位移？驻1，？驻2，…，？驻i，…，？驻n是一样的，而此结论对于非线弹性杆件并不适用。教学中这一点可以从图1加以解释，对于非线弹性体，由于广义力和广义位移的非线性对应关系，作用相同的广义力增量对应的广义位移增量并不相同。

大多数教材会紧接着讲授变形体虚位移原理，进而讲授单位荷载法及图乘法相关内容。事实上，也可以在上述卡氏第二定理的基础上推导得到单位荷载法。以忽略剪切变形的一般对称弯曲线弹性梁为例，求弯矩时叠加原理适用，因而梁内任意位置x处的弯矩M（x）可以表示为广义力的函数

式（7）表明在线弹性小变形情形下，卡氏第二定理和单位荷载法是等价的。

此种讲授方式无需引入余功及余能等概念，仅涉及线弹性杆件叠加原理、应变能的计算等内容，可以帮助学生对之前章节知识点加以回顾并加深理解，对学生初步接受能量法基本原理具有帮助作用。同时，此种方式对于教师介绍变形体虚位移原理、单位荷载法及图乘法提供了较大的自由度，对于学生融会贯通理解能量法基本思想和原理提供了较易理解的途径。

（二）"通过功的互等定理推导

部分教材以功的互等定理为切入点推导了卡氏第二定理[7]。以简支梁为例，如图3（a）所示，当杆件上仅在C1处有一个广义力F1作用时，与之对应的C1处的广义位移为？驻11，此时C2处也会发生位移，记为？驻21，表示C2处由于C1处的广义力F1作用时所产生的位移。对于线弹性杆件来说，这两个广义位移都应与广义力F1呈线性关系

式中：α11和α21为对应的柔度系数。此过程中外力做功W1=■F111=■α11F■■，不考虑能量损耗的情况下，外力功全部转换为杆件内存储的应变能Vε1=W1=■α11F■■。

类似，如图3（b）所示，当杆件上仅在C2处有一个广义力F2作用时，与之对应的C2处的广义位移为？驻22，C1处也会发生广义位移为？驻12，这两个广义位移都应与广义力F2呈线性关系

式中：α12和α22为对应的柔度系数。此过程中外力功W2=■F222=■α2２F■■，不考虑能量损耗的情况下，外力功全部转换为杆件内存储的应变能Vε2=W2=■α2２F■■。

当广义力F１和F2共同作用时，如图3（c）所示，求线弹性杆件位移的叠加原理适用，因而可视作首先在C1处施加F１，其次在C2处施加F2。求和得C1处和C2处的广义位移

现考虑当广义力F１和F2共同作用时杆件内的应变能，由于弹性杆件内存储的应变能和加载顺序无关，不妨首先施加F１，此时杆件内存储的应变能为■α1１F■■。其次施加F2，此过程中F2做功导致杆件内应变能增量为■α22F■■，应该注意的是此过程中F1已经施加在C1处，会在新产生的位移？驻12上做功，且为常力做功，与之对应的梁上应变能的增量为F1·α12F2。可得此种加载方式杆件内存储的应变能为

如果更改加载顺序，首先施加F2再施加F１，与上述分析类似可得杆件内存储的应变能为

由于弹性杆件内存储的应变能和加载顺序无关，式（14）和式（15）应相等，对比可得α12=α21。也就是说由于C1处作用单位力导致的C2处的位移等于由于C2处作用单位力导致的C1处的位移，这个结论称为位移互等定理或麦克斯韦互等定理（Maxwell'sreciprocaltheorem）。

现讨论由互等定理导出卡氏第二定理，将式（14）关于F1和F2分别求偏导数，同时由于α12=α21，可得

从式（16）和式（17）可以看出对于线弹性杆件来说，应变能关于广义力的偏导数等于与此广义力对应的广义位移。

更一般的情况，如果杆件上C1，C2，…，Ci，…，Cn有n个广义力F1，F2，…，Fi，…，Fn共同作用时，各位置处对应的广义位移分别为1，2，…，i，…，n。与杆件上有两个广义力共同作用的式（12）和式（13）类似，n个广义力共同作用时，Ci处的广义位移可以表示为

式中：k取1，2，…，n。杆件上存储的总应变能可表示为

式中：j，k分别取1，2，…，n。总应变能关于Ci处的广义力Fi求偏导数，即对式（19）中当j=i或k=i时求偏导，可得

注意由于αji=αij，并将上式右侧第二项中求和指标j替换为k，可得

即i=■，卡氏第二定理得证。

与第一节类似，此种方式同样无需引入余功和余能的概念。其中一个难点是在推广到多个广义力共同作用时的推导过程中运用了基本的带求和符号的求导运算，讲授过程中需要加以解释。此种讲授方式在国外的部分教材中较常见，推导过程简洁直接，绕过了必须引入微增量等学生较难理解的知识点。材料力学重点讨论线弹性杆件小变形情形，此种讲授方式易于学生接受。同时教师在讲授过程中可以顺带讲授位移互等定理，可以启发学生对于能量原理进行更加深入的思考。

（三）"通过外力功/余功和应变能/余能的转换推导

与第一种及第二种推导的讲授方式稍有区别，在明确了应变能及其由外力功转换而来的同时引出余功和余能的概念。此种讲授代表性的教材是高等教育出版社孙训方等编著的系列教材[4]，该教材在第三版后将能量法重点放在应变能、余能概念、卡氏定理及其应用上，将虚位移原理及单位荷载法放在章节后半部分作为与后续结构力学课程的衔接。

如图1所示，余功为图示从F=0到F=F1之间F-Δ曲线与纵轴围成的面积，且余能（Vc）和余功（Wc）在数值上相等

余能是一个人为定义的概念，与应变能具有相同的量纲，并无具体的物理意义，对于线弹性材料来说，余能和应变能在数值上相等。

在“外力功在数值上等于应变能”和“外力余功在数值上等于余能”的前提下，给出了卡氏第一和第二定理的讲述。首先是卡氏第一定理的证明，对于弹性体在给定荷载F1，F2，…，Fi，…，Fn作用时，对应的广义位移1，2，…，i，…，n和弹性体最终存储的应变能Vε也随即确定。应变能（或外力功）仅与荷载（或位移）的最终值有关，可表示为广义力或广义位移的函数，式（2）和式（3）。

假设与Fi相应的广义位移Δi有一微小增量dΔi，如图4所示，在忽略掉二阶及以上小量时，由式（3）弹性体内应变能的变化可表示为dVε=■d？驻i。从另外一个角度考虑，当杆件仅发生与Fi相应的广义位移dΔi变化时，仅Fi做功，外力功的变化为dW=FidΔi。这里学生在理解过程中的难点是在虚加位移dΔi过程中Fi保持恒定，做功为常力做功，在讲授过程中需要特别加以说明。另外，此处需要特别强调广义力Fi和广义位移Δi的对应关系，以帮助学生正确理解和应用卡氏定理。依据外力功在数值上等于应变能，消去dΔi，可得卡氏第一定理

即弹性体应变能对于广义位移Δi的变化率等于该位移对应的广义力Fi。该定理适用于小变形情况下线弹性及非线弹性杆件。

这种推导过程较易理解，但由于没有涉及变形体虚位移原理，学生可能会对弹性体上广义位移产生微小增量处产生疑问，尤其是对课本简支梁上只在其中一个广义位移处产生微增量，而保持其余位移不变产生疑问。因而，需要稍加解释虚位移模式，即虚位移应首先保证变形体的连续性条件的同时符合约束条件。虚位移有无数种可能，稳定约束系统中，真实发生的位移仅为可能的虚位移中的一种；其次虚位移为任意虚设的小位移，计算中可基于变形体原来的形状进行计算。对于课本中简支梁仅在Fi相应的位移Δi有一微小增量dΔi，而其余荷载对应的位移保持不变，虚加位移方式有无数多种，图5（a）和图5（b）虚线给出了两种满足上述条件的虚加位移dΔi。

有了卡氏第一定理的铺垫，余能定理的推导可通过对照自然得出。对于线弹性体或非线弹性体在给定荷载F1，F2，…，Fi，…，Fn作用时，对应的广义位移1，2，…，i，…，n及其余能也即确定。类似，余能Vc可表示为荷载Fi的函数Vc=f（F1，F2，…，Fi，…，Fn）。现假设广义力Fi有一微小增量dFi，忽略掉二阶及以上小量时，梁内余能的变化可表示为dVc=■dFi。从另外一个角度考虑，当弹性体仅发生与广义位移Δi对应的Fi变化dFi时，外力余功的变化为dWc=ΔidFi，此处同样应强调广义力和广义位移的对应。依据外力余功在数值上等于余能，消去dFi可得余能定理或称为克罗蒂－恩盖塞定理

即弹性杆件余能对于某一广义力Fi的变化率等于与该广义力对应的广义位移Δi。该定理适用于小变形情况下线弹性体及非线弹性体。

特别地，对于线弹性杆件来说，应变能Vε和余能Vc在数值上相等。因而用Vε替换式（24）中的Vc即可得卡氏第二定理Δi=■。与卡氏第一定理适用于线弹性和非线弹性体不同，卡氏第二定理仅适用于线弹性体。

此种讲授通过类比对照的方式分别给出了卡氏第一定理及余能定理的证明，通过线弹性材料余能在数值上和应变能相等，给出了仅适用于线弹性材料的卡氏第二定理。讲授知识点较全面，讲授过程中需要注意帮助学生回顾高等数学全微分等理论知识以及帮助学生理解虚位移等基本概念，此种讲授方式的优势在于可以帮助学生更全面地了解能量法中的不同定理，同时理解不同定理的适用范围。

（四）"通过虚位移原理及虚力原理推导

此种讲授方式与第三节类似，不同的是首先讲授虚位移原理和虚力原理，进而推导卡氏第一和第二定理[16]。讲授过程涉及更为严格的理论推导，可帮助学生逐渐理解能量法体系，进而对后续学习有限元分析等课程具有帮助作用。为了适应学生力学分析及研究的需要，此种讲授方式其中一个代表性教材[21]从第三版起，将能量法扩充为两章，分别讲授虚位移及虚力原理相关内容，进而形成更加系统的能量原理知识体系。事实上大多结构力学教材中会更详细介绍虚功原理，即首先讲授变形体的虚功原理，其次讲授由虚功原理得到的两个虚功型原理：虚位移原理（与力系平衡等价）和虚力原理（与变形协调方程等价）。

在材料力学前序课程理论力学中已经给出了质点和质点系的虚位移原理：质点或质点系处于平衡状态的充要条件是外力对于虚位移所作的总功为零。对于变形体来说，发生虚位移时不仅外力做功，内力也会由于虚位移导致的杆件变形而做功。大多材料课本中都给出了变形体虚位移原理的简单论述，例如，以单辉祖版为代表的教材[5]借助简支梁受分布荷载，采用分部积分法论证了虚位移原理。以刘鸿文版为代表的教材[3]和以孙训方版教材[4]为代表的教材分别在理论力学刚体虚位移原理的基础上给出了变形体虚位移原理的说明。关于虚位移原理更严格的论证可以参考结构力学书籍[22]。变形体的虚位移原理可以表述为：变形体处于平衡状态的充要条件是作用在其上的外力在虚位移上所做的功（外力虚功）等于内力在相应虚变形上所做的功（内力虚功），即

基于变形体虚位移原理，可以得出卡氏第一定理。注意虚位移可以是与真实位移有关的位移，也可以是与真实位移无关的位移。当虚位移是真实位移的增量时，外力虚功全部转变为应变能增量，即δWe=δVε。弹性体受外荷载（F1，F2，…，Fi，…，Fn）作用平衡后，对应位置产生广义位移（1，2，…，i，…，n），弹性体内部所存储的应变能可表示为广义位移的函数Vε=f（1，2，…，i，…，n）。如在弹性体上施加虚位移，导致相应位置产生虚位移大小为（1，δ2，…，i，…，n），此过程中外荷载在相应虚位移上所做的外力虚功可以表示为

而内力虚功，即应变能增量可表示为

依据变形体虚位移原理，上述式（26）和式（27）相等可得

式（28）对任意虚位移成立，需保证式（28）括号中的式子恒为零，可得卡氏第一定理Fi=■。

与虚位移原理对应，在讲授了虚功和余能的概念后可引出虚力原理。与前述虚位移原理类似，可以给出变形体虚力原理的简要论证，虚力原理：弹性体保持变形协调的充要条件是外力虚余功等于内力虚余功

基于变形体虚力原理，可以得出克罗蒂－恩盖塞定理（余能定理）。任意施加的虚力需满足平衡条件，可以与真实力有关，也可以与真实力无关，当虚力为作用在弹性体上的真实力的增量时，内力虚余功等于杆件内的余能增量，即δWic=δVc。当杆件受外荷载（F1，F2，…，Fi，…，Fn）平衡后其内余能可以表示为广义力的函数Vε=f（F1，F2，…，Fi，…，Fn）。如在杆件上施加任意虚力δFi，则外力虚余功可以表示为

余能增量可表示为

由变形体虚力原理上述式（30）和式（31）相等，可得

式（32）对任意虚位移成立可得克罗蒂－恩盖塞定理。

对于线弹性体，应变能在数值上等于余能，即Vε=Vc，可得卡氏第二定理。

在绝大多数不涉及虚力原理的教材中[3-6，20]，单位荷载法是通过虚位移原理给出的，即将虚加的单位荷载看作实际外力，而将实际位移看作虚位移，进而得到单位荷载法表达式。事实上，在讲授了虚力原理后，单位荷载法的给出更为直接[21]。为求变形体在实际荷载作用下某位置处的广义位移，在该位置处施加相应的单位荷载，并将其看做虚力，由这个单位荷载引起的变形体任意截面上的内力记为（■，■，■，■）。则外力虚余功为1·？驻，内力虚余功为■■dδ+■dλ+■dφ+■dθ，由虚力原理二者相等可得弹性体单位荷载法的一般表述形式。

此种讲授方式通过类比对照分别给出了虚位移原理和虚力原理的说明，并基于此分别给出了卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理（余能定理）及卡氏第二定理的证明。此种讲授知识点全面，相比于第三种推导的讲授方式来说理论性更强，其优势在于可帮助学生逐渐理解能量法知识体系。

二"能量法不同讲授方式对比及教学探讨

（一）"四种不同讲授方式对比

受课堂教学课时的限制，绝大多数材料力学能量法课堂教学仅可有针对性地选取其中一种进行讲授。随着时代的发展，国内外使用的教材也在不断迭代，尤其是针对能量法的课程内容安排演化较大，逐渐形成了针对不同学科和专业的经典教材。当前国内机械大类专业多采用刘鸿文版材料力学，土木大类专业多采用孙训方版材料力学教材，其余，如单辉祖、范钦珊、殷雅俊等经典教材也被力学类、航空航天类等专业广泛使用。这些经典教材的能量法课程内容安排基本可囊括在本文所讨论的四种讲授思路中。

第一种讲授方式通过应变能与加载顺序无关推导得到卡氏第二定理，在巩固了基本知识及讲授了卡氏第二定理新知识的同时，可以更进一步进行单位荷载法及图乘法的讲授，此种方式较利于学生接受。

第二种讲授方式通过功的互等定理推导，讨论两个及多个荷载共同作用时线弹性结构的位移及应变能，并采用柔度系数给出了应变能的表达形式，自然引出功的互等定理及位移互等定理，进一步通过应变能对广义力求偏导直接得卡氏第二定理。部分学者也采用与上述推导类似的办法借助刚度系数给出了卡氏第二定理的证明[15]。推导中用到的功的互等定理、刚度系数及柔度系数等概念的介绍对于学生衔接后续课程的学习具有引导帮助作用。

第三种讲授方式借助外力功/余功和应变能/余能的转换推导得到卡氏第一定理、余能定理及卡氏第二定理。讲授过程中假设广义位移或广义力有微小增量时，外力功及外力余功的表达形式为广义力和广义位移的乘积，需强调广义力和广义位移的对应关系，以帮助学生准确使用卡氏定理。讲授中一个难点是证明卡氏第一定理及余能定理时施加广义位移或广义力微小增量时，应变能增量的计算，可以引入虚位移概念以帮助学生理解。此外，余功及余能为人为定义的一个量，没有实际物理含义，且为学生首次接触，需要加以说明。此种讲授方式知识点更为全面，通过对比可明确不同定理的适用范围。

第四种讲授方式通过虚位移原理及虚力原理推导，与第三种讲授方式类似，理论性更强，借助能量法中虚位移原理和虚力原理给出卡氏第一定理及克罗蒂－恩盖塞定理的证明，有助于理解能量原理的内涵。教学中以虚功原理为主体，并作为贯穿后续力学课程的一条主线，对于结构力学中虚功原理、弹性力学中关于能量法的变分原理及有限元法中最小势能原理的学习具有引导作用。

（二）"能量法教学探讨

材料力学作为工科专业基础课，对创新型专业人才培养有关键的作用。课程知识点多，理论性强，其中能量法的章节更是其中的典型。本文总结了四种典型的能量法的讲授方式，基本囊括了现行能量法讲授思路，可以作为学习参考，帮助开拓思路，逐渐加深理解，形成能量法知识体系。

新工科及新时代人才培养不仅要求学生在学习中掌握基础知识和基本原理，而且要求学生能逐渐建立模型分析复杂工程问题。在教学过程中引导学生明确专业目标，将实际专业问题引入课堂中，帮助学生在学习过程中逐渐建立起专业认同感及专业自豪感，培养学生从求解固定作业题目逐步转变到解决实际专业工程及科学问题的能力[12]。

三"结束语

本文总结了材料力学能量法教学中的四种典型讲授思路，重点关注了四种讲授方式中卡氏第二定理的推导。结合材料力学课程特点，对比分析了四种能量法讲授方式的特点及学生接受过程的难易。前两种方式无需引入余功及余能等概念，与材料力学前述讲授有更紧密的衔接。后两种方式更为全面地介绍了能量原理相关的内容，可帮助学生逐渐形成能量原理知识体系，对后续相关力学分析课程的学习具有帮助作用。本文旨在聚合不同的经典教学方案，以期开拓学生思路，培养学生对于材料力学学习以及对科学研究的兴趣，帮助学生更深刻地理解材料力学能量法，同时为相关专业学生后续课程的学习打好坚实的基础，逐渐培养学生对于应用所学力学知识解决实际工程问题的能力。

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基金项目：国家自然科学基金项目“孔尺度水-油非连续驱替行为控制机理研究”（52274045）；中国矿业大学（北京）本科教育教学改革与研究项目“基于科研训练大学生创新创业教育能力培养模式”（J241509）

第一作者简介：郑江韬（1989-），男，汉族，山西运城人，博士，副教授，硕士研究生导师。研究方向为工程力学教学与研究。