弗里德曼数

数学是一门浩瀚伟大的学科，看似平平无奇的数字中却存在着很多玄妙而有趣的现象．

52=25．

认真观察这个等式，你会发现一个很有意思的现象，算式52中仅含有数字2和5，而结果25中也仅含有2和5．

类似的算式还有很多，比如：

112=121．

（4÷2）10=1 024，

[（86+2x7）5-91]÷34=123 456 789.

如果一个数可以用自己的各位数字通过加、减、乘、除和乘方算出，这个数就叫作“弗里德曼数”（以美国数学家埃里希·弗里德曼的名字命名）．刚才我们看到，25，121，1 024，123 456 789都是弗里德曼数．

弗里德曼数有多少呢？在所有的两位数中，只有25是弗里德曼数，占比约为1.1 0-10.在所有的三位数中，弗里德曼数一共有17个，占比约为1.9％．看起来，在自然数当中，弗里德曼数的分布很稀疏．如果数字位数更多，组合出的算式就有更丰富的可能，是不是更容易算出自己呢？在所有的四位数中，弗里德曼数一共有58个，占了大约0.6％．数字位数变多，弗里德曼数所占的比例竟然下降了！

会不会到了位数特别多的时候，就再也没有弗里德曼数了呢？不会！借助52=25，我们能构造出无数多个弗里德曼数：

502+0=2 500．

5002+0+0=250 000．

5 0002+0+0+0=25 000 000.

事实上，对于任意正整数n，都有：

（5×10n）2=52×102n=25×102n．

其中5×10n里面有n个0，25×102n里面有2n个0．因此，在（5×10n）2的后面添加n个“+0”，这个式子里用到的数字就和25×102n完全一样了．

利用上面的“模板”，我们还能证明一个更加厉害的结论：弗里德曼数可以用任意数字串结尾！比方说，有没有哪个弗里德曼数以123结尾呢？有！例如：

5 0002+123=25 000 123.

今年是2024年，有没有哪个弗里德曼数以2 024结尾呢？有！例如：

50 0002+2 024=2 500 002 024.

这一招适用于任意一个n位数．如果把这个n位数记作N，那么：

（5×10n）2+N=52×102n+N=25×102n+N.

其中5×10n里面有n个0，25×102n里面有2n个0，但加上N之后，后n位数字就变得和N相同．所以，（5×10n）2+N和25×102n+N就拥有完全相同的一组数字．

迈克，里德发现，弗里德曼数也能以任意数字串开头，比方说，下面这两个弗里德曼数就分别以123和2 024开头：

123×（4+6）5+66=12 346 656，

2024×（4+6）5+66=202 446 656.

这一招也可以用于任意一个n位数．如果把这个n位数记作N，那么N乘（4+6）5再加上66，就相当于在N的末尾添加5个0．再加上46 656，本质上也就是直接在N后面添加数字46 656.而46 656正好把“×（4+6）5+66”里的数字用了个遍，因此它就是弗里德曼数了．

有一类非常漂亮的弗里德曼数：算式和得数当中的数字顺序也能完全一样，这样的弗里德曼数就叫作“好的弗里德曼数”，比如：

-1+27=127．

（3+4）3=343，

163×（8-4）=16 384.

其实，好的弗里德曼数也有无数多个：

2+502=2 502，

2+（500+0）2=250 002，

2+（5 000+0+0）2=25 000 002，

这样的式子能无限地写下去，背后也是有原因的．对于任意正整数n．都有：

2+（5×10n）2=2+52×102n=25 000…00+2.

等式最右边现在有2n个0，但加了2之后，最后那个0会变成2，所以得数实际上有2n-1个0．等式最左边，数字5的后面一共有n个0．所以，在括号里面添加n-1个“+0”即可．

还有一类更厉害的弗里德曼数，算式里面只有一种数字，例如：

[（11-1）11-1×1]÷（11-1-1）

=11 111 111 111．

[5×（5+5）5+5-5]÷（5+5-5÷5）

=5 555 555 555.

显然，这样的弗里德曼数都是好的弗里德曼数，这样的弗里德曼数又有多少个呢？答案还是无数多个，布伦丹·欧文发现，对于1到9中的任意数字a，25个a或者更多的a连在一起，形成的都是弗里德曼数．

看到这里，你是不是突然觉得，当数字位数够多时，弗里德曼数的分布应该还是挺密集的？