深入学习“整式的乘法与因式分解”

因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，而利用整式乘法则可以把几个整式的积化为一个多项式的形式，由此可见，因式分解与整式乘法是方向相反的变形．下面，我们就深入讨论一下整式乘法与因式分解之间的关系．

数是为表示客观事物的多少或大小而形成的抽象概念，数的运算产生于对数量关系的研究，为了突破数值的局限，人们想到用更抽象的符号（如字母）代表数，数的运算也随之发展为含有抽象符号（如字母）的式的运算，这一变化是从算术到代数的开始，是数学发展中的一个里程碑，它开拓了对数量关系更具有一般性的认识，例如，数的乘法（9+7） （9-7）=92-72只表达了9与7的和差相乘等于这两数的平方差，而式的乘法（a+b）（a-b）=a2-b2则表达了任意两数的和差相乘与其平方差相等，即对a，b取任意数值代人此式，左边总等于右边．一般地，式中的字母取使式子有意义的任意数值时都成立的等式，叫作恒等式，从恒等式的任何一边得出另一边，叫作恒等变形，本文要讨论的整式乘法与因式分解，就是整式的两种关系密切的恒等变形．

一、整数乘法与因数分解

含有字母的算式是由数的算式抽象出来的．为了更好地认识整式乘法与因式分解，我们先回顾整数乘法与因数分解．

数的乘法是数之间的一种运算，其过程为：由两个数按照乘法法则得到一个数，如2×3=6.这种运算过程可以概括成a×b=c，其中a和b是因数（乘数），c是积．

乘法的逆运算是除法，其过程为：由乘法的结果（积）和一个因数，按照乘法法则逆推得到另一个因数，如6÷3=2．这种运算过程可以概括成c÷a=b，其中c是被除数，a是除数，b是商．

如上所述，乘法及其逆运算除法，都是由参与运算的两个数按照运算法则得到一个数，你会注意到，两个整数相乘的积仍是整数，即整数对于乘法是封闭的；但两个整数相除的商不一定是整数，例如7÷3=7/3，即整数对于除法不封闭．

如2×3=6，2×5×7=70，整数乘法是由两个或更多个整数（因数）得到一个整数（积），即“由多到一”的“合成”变形，把这个变形反过来，如6=2×3，70=2×5×7，由一个整数（积）得到多个整数（因数），即“由一到多”的“分解”变形叫作因数分解．显然因数分解与整数乘法是方向相反的等式变形，因数分解在数的运算（如分数的约分或通分）中经常使用．

二、整式乘法与因式分解

整式是在用字母表示数后出现的，整式乘法与因式分解，是整数乘法与因数分解的延伸，由数的乘法法则和运算律发展成整式乘法法则和运算律，以幂的运算法则为基础，单项式相乘的积仍为单项式，如3×2·5×y=15×3y.单项式乘多项式或多项式乘多项式的积为多项式，如3m2n（m3+3n3）=3m5n+9m2n4，2a2 （a+b） （a-b） =2a-（a2-b2）=2a4-2a2b2，这些等式都表示整式的乘法，其左边为几个整式相乘的形式，右边以一个整式作为积．

交换上面后两个等式的左右两边，则有等式3m5n+9m2n4=3m2n（m3+3n3）， 2a4-2a2b2=2a2 （a+b） （a-b）．这样，等式左边是一个多项式，右边是几个整式相乘，一般地，把一个多项式分解成几个整式相乘的形式，叫作这个多项式的因式分解（也叫作把这个多项式分解因式）．

对比整式乘法与因式分解，可知前者是南几个整式相乘“合成”为一个多项式的过程，而后者是一个多项式“分解”为几个整式相乘的过程．显然，两者是方向相反的整式恒等变形．

由于整式乘法与因式分解密切相关，所以常有人以为因式分解是整式乘法的逆运算，其实这种认识不正确，与因数分解与整数乘法的关系类似，乘法的逆运算仍是除法，如整式乘法（a+b） （a-b ）=a2-b2的逆运算，是整式除法（a2-b2）÷（a+b）=a-b或（a2-b2）÷（a-6）=a+b．因式分解a2-b2=（a+b） （a-b），表达的不是被除式除以除式等于商的运算，所以它不是整式乘法的逆运算，而只是将整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2等号两边左右对调的恒等变形．

三、因式分解的方法出自对整式乘法作逆向恒等变形

整式乘法的基础是其法则、公式和运算律，因式分解的基本方法，如提公因式法和公式法，都出自对整式乘法作逆向的恒等变形，乘法分配律为a（b+c）=ab+ac，其中字母a，b，c是参与运算的元素（数或式），等号右边各项有公因式a．将这一等式左右对调，即ab+ac =a（b+c），这是对乘法分配律的逆用，即提公因式法分解因式，为简捷地计算某些特殊形式的乘法，人们总结出一些乘法公式，如（a+b） （a-b）=a2-b2，（a+b ）2=a2+2ab+b2等．将这些公式左右对调，即a2-b2=（a+b） （a-b），a2±2ab+b2=（a+b）2等，这是对乘法公式的逆用，由此得出因式分解的公式，用它们可以简捷地对某些特殊形式的多项式分解因式，即公式法分解因式．

四、整式乘法与因或分解都需因题制宜，灵活运用

整式乘法与因式分解的基本方法不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需认真思考，结合具体问题选择最佳解法．

例1 （1）计算：（2a2b3-3b2C3+4c2d3-5d2f3）（2a2b3+3b2c3-4c2d3-5d2f3）.

（2）把a2c+a2+2ab+b2-b2c分解因式．

解：（1）原式=[（2a2b3-5d2f3）-（3b2c3-4c2d3）][（2a2b3-5df3）+（3b2c3-4c2d3）]=（2a2b3-5d2f3）2- （3b2c3-4c2d3）2=4a4b6-20a2b3d2f3+25d4f6-9b4c6+24b2c5d3-16c4d6.

（2）原式=（a2c-b2c ）+（a2+2ab+b2）

=c（a+b）（a-b）+（a+b）：

=（a+b）Ic（a-b）+（a+b）]

=（a+b）（ac-bc+a+b）．

回顾：（1）（2）的解法中，都是先把题中的多项式适当分组，这为后续解题作了必要的铺垫．

例2 （1）已知a＞b，a+b=m，ab =n，m2＞4n，求a-b．

（2）把a4-4a3+2a2+4a+1分解因式．

解：（1） （a+b ）2=a2+2ab+b2=m2，

（a-b）2=a2-2ab+b2

=a2+2ab+b2-4ab

=m2-4n.

∵a＞b．

∴a-b=根号下m2-4n．

（2）原式=a4-4a3+4a2-2a2+4a+1

=（a4-2a2+1）-（4a3-4a ）+4a2

=（a2-1）2-4a（a2-1）+4a2

=（a2-2a-1）2．

回顾：（1）（2）的解法中，都使用了“拆项”.（1）的解法中，把-2ab拆为2ab -4ab，这就使（a-b）2可用已知字母表示.（2）的解法中，把2a2拆为4a2-2a2，意在适当分组后可用完全平方公式，而且后续能再用公式完成原式的因式分解．

五、因式分解的作用

整式乘法是代数式的基本运算之一，它的作用很多，在此不赘述，因式分解虽不属于基本运算，但这种恒等变形也是解决数学问题的重要手段，在计算、化简、解方程等问题中，因式分解可以发挥重要作用．

例3 解方程：x3+6x2-4x-24=0.

分析：这是一元三次方程，右边等于0．如果左边能分解因式，则可知当这些因式中任何一个等于0时，乘积等于0，于是可以根据这些因式求方程的解，代数学中有一个重要的定理：任一实系数一元n次多项式（n≥1），在实数范围内都可以分解为一次因式或二次不可再分解的因式的积，例如，二次多项式6x2+x-1=（3x-1）（2x+1），即分解得两个一次因式的积；三次多项式x3+x2+x-3= （x-1）·（x2+2x+3），即分解得一个一次因式与一个二次因式的积，而且这个二次因式x2+2x+3在实数范围内不可再分解，根据这个定理，可通过分解因式来解一元n次方程．

解：把原方程左边作恒等变形，依次得x2（x+6）-4（x+6）=0，（x+6）（x2-4）=0，（x+6）（x-2）（x+2）=0．显然，使x+6，x-2，x+2这三个因式中任意一个为0的。的值都是原方程的解，因此，x1=-6，x2=2，x3=-2是原方程的三个解．

回顾：高次方程的解法目前还没学，但利用因式分解巧妙地解决了这个问题．以后同学们会发现，这是解高次方程的重要方法．

综上所述，整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，它们都有重要的作用，随着今后的深入学习，同学们会不断加深对它们的认识．