初中数学教学中类比性问题的设计与应用

1 类比性问题的作用

类比性问题，即通过将一个已知的情境、概念或问题与一个新的未知的情境、概念或问题进行比较，从而发现它们之间的相似性和差异性，进一步推导出新问题的解决方法或对新概念的理解［1］.因此，当面对一个新的问题时，人们可以通过寻找与该问题相似或相关的已知问题，借鉴其解决方案或思路，来帮助理解和解决当前面临的问题.类比性问题的作用有如下几点.

1.1 促进知识的迁移和应用

类比性问题的一个重要作用是促进知识的迁移，将一个领域中的知识应用到另一个领域，从而拓宽知识的应用范围，增强问题解决的灵活性和创造性.通过类比，人们能够将过去的经验和知识与当前的情境联系起来，实现知识的跨领域迁移.

1.2 促进创新和发现

类比问题的一个显著作用是激发和促进创新思维.在面对新问题时，人们往往会不自觉地寻找与之相似的已知问题或情境，通过对比分析，将已有的解决方案或思路迁移到新问题上，从而产生新的解决策略.

1.3 加深对复杂概念的理解

类比性问题还有助于增强对复杂概念或理论的理解.通过将复杂的、抽象的概念与熟悉的、具体的事物相比较，可以帮助人们更好地理解和掌握这些概念.

2 类比性问题的设计原则

在初中教学中，设计类比问题常常应遵循如下三个关键的设计原则.

2.1 关联性原则

关联性原则强调进行类比问题设计时，应确保已知概念或现象与待学习的新概念或现象之间存在明显的相似性和关联性.这种相似性不仅限于表面特征，更重要的是涉及结构和功能上的相似性.这样的设计能够帮助学生通过已经熟悉的知识框架理解新的概念，从而促进知识的迁移和应用.

2.2 渐进性原则

渐进性原则要求类比问题的设计应从简到难，逐步深入，以匹配学生的认知发展水平和学习进度.初期可以使用简单直观的类比，帮助学生建立初步的概念框架；随着学生理解的加深，可以逐步引入更复杂或更抽象的类比，以促进深层次的认识和理解.

3 教学案例

3.1 平行类比问题

以平行的性质为例，通过建立不同几何图形或几何概念之间的相似性和对比性，不仅可以帮助学生区分和记忆各种几何图形的性质，还可以激发他们探索几何图形更深层次相似性和差异性的兴趣，促进他们深入理解和灵活应用几何知识.例1抽取出平行的概念与性质的本质，将其迁移到不同几何结构中，由简单到复杂，体现了关联性原则和渐进性原则，加深了对概念与性质的理解，帮助学生构建起更清晰的认知.

例1""我们把图1形象地称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系，观察并解决以下问题.

（1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED.试探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD=36°，∠BCD=80°，EF平分∠BED交直线AB于点F，则∠BEF=_____°.

解析：

（1）∠BED=∠B+∠D.理由如下：

如图3所示，过点E作ET∥AB.

∵AB∥CD，

∴ET∥AB∥CD.

∴∠B=∠BET，∠D=∠DET.

∴∠B+∠D=∠BET+∠DET.

∴∠BED=∠B+∠D.

（2）58.

类比（1）可知∠AEC=∠BAD+∠BCD=36°+80°=116°，则∠BED=116°.

又EF平分∠BED，所以∠BEF=12∠BED=58°.

3.2 旋转类比问题

旋转类比问题需要学生分析图形的变化规律，仔细观察图形的细节和变化，进而推理出结果.通过解决旋转类比问题，学生可以更好地理解数学中的对称性、变换等概念，促进数学思维的发展［2］.例2为典型的旋转类比问题，由观察猜想、类比探究解决创新性问题，层层渐进，加深了复杂技巧的应用.

例2""如图4，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点（不与A，B两点重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接BE，在BE上取一点M，连接CM并延长CM至点N，连接BN．

（1）观察猜想：

若ME=2BM，MC=2MN，则线段CE与BN的位置关系是_____，BDBN的值是_____；

（2）类比探究：

将△ADE绕点A顺时针旋转至如图5所示的位置，ME=nBM，MC=nMN，写出线段BN与CE的位置关系及BDBN的值，并说明理由；

（3）解决问题：

△ADE绕点A在平面内自由旋转，ME=nBM，MC=nMN，若∠BAC=60°，AB=4，以B，D，E，N为顶点的四边形是菱形，直接写出线段BM的长．

解析：（1）由ME=2BM，MC=2MN，得BMME=MNMC=12.

又∠BMN=∠EMC，所以△BMN∽△EMC，则

BNCE=12，∠BNM=∠ECM，所以BN∥CE．

由DE∥BC，得BDAB=CEAC．

又AB=AC，则BD=CE，

则BNBD=12，即BDBN=2.

（2）BN∥CE，BDBN=n.理由如下：

由ME=nBM，MC=nMN，得BMME=MNMC=1n.

又

∠BMN=∠EMC，所以△BMN∽△EMC，

则BNCE=1n，∠BNM=∠ECM，则BN∥CE．

由∠DAE=∠BAC，得∠BAD=∠CAE．

又AD=AE，AB=AC，则△ABD≌△ACE，

所以BD=CE，则BNBD=1n，即BDBN=n.

（3）由以B，D，E，N为顶点的四边形是菱形，

得BN∥DE，NB=DE=BE．

由（2）得，BN∥CE，CE=BD，所以

D，E，C三点共线．

由∠BAC=60°，AB=AC，DE∥BN，

得△ABC和△ADE是等边三角形，则

∠AED=60°，AE=DE=BE．

又AC=BC，所以△ACE≌△BCE，

则∠ACE=∠BCE=30°．

又∠AEC=180°-∠AED=120°，

则∠CAE=30°，所以AE=CE=BN，

则△BMN≌△EMC，于是BM=EM=12BE．

如图6所示，过点E作EP⊥BC于点P.

∵BE=CE，

∴BP=CP=2．

在直角三角形CEP中，cos∠ECB=CPCE=32，

即CE=2×23=433，则BM=12BE=12CE=233．

通过类比性问题，学生不仅能够实现知识的迁移和应用，还能激发创新思维，增强对复杂概念的理解.本文中探讨了类比性问题的三大作用，并提出了设计类比性问题的关联性和渐进性原则.这些原则指导教师在教学中有效地设计类比问题，帮助学生在已知与未知之间建立联系，促进深层次的理解和学习.通过具体的教学案例，展示了如何在实际教学中应用类比性问题.这些案例不仅体现了类比问题的设计原则，还展示了其在激发学生学习兴趣和探索欲望方面的作用.通过类比，学生能够更灵活地应用所学知识，提升解决问题的能力.总之，类比性问题在数学教学中扮演着不可或缺的角色.教师应充分利用类比问题的优势，构建互动、灵活的教学环境，帮助学生发展类比思维能力，为未来的学习和个人发展奠定坚实的基础［3］.

参考文献：

[1]陈婷婷，王巍.类比思维在小学数学教学中的应用研究［J］.教育教学论坛，2018（28）：185-186.

[2]张琳，刘鹏.类比思维在初中数学教学中的应用探究［J］.数学教学，2016（11）：63-65.

[3]李明，王璐.类比思维在高中数学教学中的实践与探索［J］.数学教学研究，2019，12（3）：48-51.