弱化优化宽化

摘 要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》中增加了对尺规作图的具体要求，这些要求在学业质量监测试题中也得到了相应的体现.解决好尺规作图问题，需要充分运用多种与尺规作图相关的基本原理和方法，能够增强学生的动手能力，发展空间观念和空间想象力.

关键词：弱化要求；准目标图形；图形变换

近年来，尺规作图题难度较以往有大幅提升，这些题往往难在对目标图形的要求较多或比较严格等方面，完成这样一些尺规作图题通常可以先弱化对目标图形的要求，作出接近于“目标图形”的“准目标图形”，再借助图形的变换（平移、翻折、旋转或位似）把“准目标图形”变化为“目标图形”.当然，还可以通过反思作图的本质，将作图方法进行优化，通过联想与目标图形相关的多种模型实现作图思路的创新.教师在日常的尺规作图的教学中应该引导学生学会弱化作图要求，寻求变换解决；反思作图本质，探求优化作法；联想基本模型，追求宽化思路.下面笔者以一道尺规作图题为例谈谈一些想法.

1 试题呈现

如图1所示，P是∠AOB内一点，用直尺和圆规作一个等腰直角三角形PCD，使C、D两点分别在边OA、OB上，且∠CPD＝90°，PC＝PD（要求写出必要的文字说明）.

2 难点剖析

本题对目标图形有以下要求：①∠CPD＝90°；②PC＝PD；③点C在边OA上；④点D在边OB上.显然，上述要求中，让图形满足其中任意3个不是一件难事，但很难同时满足所有条件.难点还在于点P的位置并不特殊，所以难度确实不小.

3 解法探求

3.1 弱化作图要求，寻求变换解决

弱化问题的要求，可以让问题由浅入手，逐步向目标靠拢.

本题的4个要求可以弱化哪一个呢？经历过多道作图题的弱化过程，发现弱化位置方面的要求，通常较易于通过变换实现最终的作图，也就是弱化本题中的要求③或④，因为这两个要求地位相同，所以不妨弱化要求④.

在分析阶段可以画草图（如图2），在等腰直角三角形PC1D1中，点C1在边OA上，且∠C1PD1＝90°，PC1＝PD1.此图为弱化要求④之后的“准目标图形”.

怎样的变换能将“准目标图形”变化为“目标图形”呢？不妨将“目标图形”和“准目标图形”画在一起观察（如图3）.两个等腰直角三角形顶角的顶点都是P，于是想到了连接DD1，构造“手拉手”全等模型，已知点P、C1位置是确定的，且点C在OA上，发现∠PC1C的大小是确定的，进而作∠PD1D＝∠PC1C，便可确定点D在OB上的位置，完成作图.具体作法如下.

作法1：如图4所示，作等腰直角三角形PC1D1（为了让图形看起来简洁，C1D1没有连接），在PD1左侧作射线D1D，交OB于点D，使∠PD1D＝∠PC1C，在C1A上截取C1C＝D1D，△PCD即为所求.

此作法中，从“准目标图形”到“目标图形”的变换方式是旋转和位似.其实，由于从点C1到点C的移动路径是直的，根据“瓜豆原理”可知，从点D1到点D的移动路径的确是直的，也可以通过多作几个“准目标图形”（如图5），发现从点D1到点D的移动路径的确是直的.这样看来，作法1实际上是用1个点和1个方向确定了路径D1D，通过图5中的想法，我们还发现路径D1D也能用2个点来确定，从而得到作法2.

作法2：如图6所示，作等腰直角三角形PC1D1和PC2D2（为了让图形看起来简洁，C1D1和C2D2都没有连接），作射线D1D2，交OB于点D，在C2A上截取C2C＝D2D，△PCD即为所求.

弱化要求④，可以完成作图，那么弱化其他要求，也能完成作图吗？笔者认为还是要就点的位置方面的要求进行弱化才易于解决，除了弱化点C或点D位置的要求外，是否还可以弱化对点P位置的要求，不妨试一试.弱化后的要求如下：①∠C1P1D1＝90°（点P1位置任意）；②P1C1＝P1D1；③点C1在边OA上；④点D1在边OB上.

如图7所示，先画出满足上述要求的一个△P1C1D1，借助草图分析该“准目标图形”通过怎样的变换可以变化为“目标图形”，发现还需要一个用于过渡的等腰直角三角形P2C1D2（其中O、P、P2三点共线，点D2在OB上，∠C1P2D2＝90°，P2C1＝P2D2），可以通过旋转和位似变换将△P1C1D1先变化为△P2C1D2，再以O为位似中心，将△P2C1D2通过位似变换变化为目标图形△PCD.于是又有了第3种作法.

作法3：如图8所示，作等腰直角三角形P1C1D1（为了让图形看起来简洁，P1D1没有连接），作∠C1P1P2＝∠C1D1B，射线P1P2与射线OP相交于点P2，作等腰直角三角形P2C1D2（为了让图形看起来简洁，点D2没有显示出来），作PC∥P2C1确定点C，最后在OB上截取点D，使PD＝PC，△PCD即为所求.

3.2 反思作图本质，探求优化作法

很多问题不是复杂化地去理解，而是需要回归问题本质，追求方法的优化.

在图5中，可以看出任意一个点Cn都可以通过绕点P逆时针旋转90°得到一个对应的点Dn，由于直线由点构成的本质，故易知点P到两个路径的距离相等、两个路径之间互相垂直等结论，所以作法2可以优化得到作法4和作法5.

作法4：如图9所示，过点P作PC1⊥OA，垂足为C1，在OC1上截取C1E＝PC1，过点E作ED⊥OA，交OB于点D，作射线DP，过点P作PC⊥PD，交OA于点C，△PCD即为所求.

作法5：如图10所示，作等腰直角三角形PC1D1（为了让图形看起来简洁，C1D1没有连接），过点D1作D1D⊥OA，交OB于点D，在C1A上截取C1C＝D1D，△PCD即为所求.

3.3 联想基本模型，追求宽化思路

在解题时，联想陌生的问题与哪些熟悉的解题模型有关系或者类似，有助于探索出更宽、更创新的思路.

通过等腰直角三角形可以联想到“一线三垂直”模型，如图11所示，图中有△PCF≌△DPE，则可以通过使CF与已知的PE相等来先确定点C的位置，然后再确定点D的位置，具体作法如下.

作法6：如图12所示，过点P作PE⊥OB，垂足为E，在OE上截取EG＝EP，过点G作GC⊥OB，交OA于点C，在OE上作点D，使PD＝PC，△PCD即为所求.

通过“PC＝PD”联想到与之相关的使C、P、D三点共线且PC＝PD（C、D两点分别在OA、OB边上）的作图问题（如图13），可以根据“平行四边形的性质”“中位线的性质”的逆命题等模型先解决这个相关问题.原作图问题可以转化为这个相关问题，即将射线OB绕点P逆时针旋转90°，使旋转后得到的射线所在的直线MN与OA相交于点O1，线段PD跟着一同转动至线段PD1（如图14），原作图问题便转化为了在∠OO1N中作图13的“准目标图形”的问题，具体作法如下.

作法7：如图15所示，过点P作PE⊥OB，垂足为E，交OA于点F，在EB上截取EG＝EP，过点G作MN⊥OB，交OA于点H，在OF上截取FC＝FH，在OE上作点D，使PD＝PC，△PCD即为所求.

作法8：如图16所示，直线MN，点E、G、H、D的确定方法与作法7完全相同.在HP的延长线上截取PF＝HP，过点F作FC∥MN，交OA于点C，在OE上作点D，使PD＝PC，△PCD即为所求.

4 教学思考

4.1 变换先行，逼近目标图形

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课程标准”）指出：“‘图形的变化’强调从运动变化的观点来研究图形，理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量.”［1］

尺规作图问题最终归结为作出符合题目要求的点，不过一些较难的问题中需要作的点有多个或要求较高，这就需要先确定其中某些点或关注其中部分要求，作出符合部分题意的“准目标图形”，再用变换的方法，让已作出的“准目标图形”的位置或大小发生变化，使其完全符合题目的所有要求，成为最终的目标图形.

这里关键是要将“准目标图形”和“目标图形”放在一幅图中，通过对比、找联系，发现两图形之间存在的变换关系.如果是存在着平移关系，那么只需要通过它们的一组对应点，便确定平移的方向和距离；如果是存在着翻折关系，那么只需要找到它们的一组对应点连线的垂直平分线，便可以确定对称轴；如果是存在着旋转关系，那么只需要根据它们的一组对应点，便可以确定旋转中心和旋转角；如果是存在着位似关系，那么只需要找到两组对应点的连线所在直线的交点，便可以确定位似中心和相似比.确定了变换的要素后，就可以将“准目标图形”中其他的点也变化到“目标图形”.

此外，还有一种思路，就是多作出几个“准目标图形”，找到“准目标图形”的某个点的运动轨迹，根据轨迹，便能确定该点在“目标图形”中的对应点的位置，从而进一步作出最终的“目标图形”.

教师在平时教学过程中，应关注学生对每种变换的性质、规律的理解，真正能让图形的变换成为解决问题的有效工具，特别是在尺规作图的问题中大显身手.

4.2 模型主宰，拓宽作图路径

尺规作图是对几何图形性质的综合性考查，它要求学生根据题目条件，适当联想、逐步探索、构造相关的几何图形或者几何模型来寻找结论，对学生的能力要求较高.

在作图中常用的几何模型有“一线三垂直”“手拉手”“射影”“切割线”等.在作图前，可以把可能有关的模型镶嵌在图中，分析这些模型中的性质，根据性质逆向思考，看看可以先确定模型中的哪些点，随后再怎么逐步确定“目标图形”中的点.例如，图11中，过点P作OB的垂线先能很容易确定点E，再根据“一线三垂直”模型的性质，明确了点C到直线PE的距离，相当于先确定的点E为后续确定点C创造新的条件，进而保证目标图形中关键的点C被作出.

教师在教学中要关注学生对重要几何模型的积累，学生应熟知这些几何模型的性质，以便能在尺规作图题中想到它们，为作图提供思路，拓宽作图的路径.

4.3 尺规共“舞”，尽显几何思维

课程标准指出：“经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念和空间想象力.”［2］

范希尔将几何思维水平分为了以下5个层次：层次0：视觉；层次1：分析；层次2：非形式化的演绎；层次3：形式的演绎；层次4：严密性.达到层次4的学生即使不参照模型也能以较大的严密性进行推理，这时推理的对象是形式化构造之间的关系.［3］可见，尺规作图对几何思维的要求属于层次4.尺规作图问题没有给出需要推理的图形，而是需要学生自己创造图形，使它满足题目的要求，其中需要很严密、高要求的几何推理，也需要很强的空间观念.

尺规共“舞”，好比是在一张白纸上画一幅美丽的风景图，这幅风景图的背后积淀着众多的几何知识和几何逻辑，能够展现学生的几何素养，尽显学生的几何思维.

参考文献

［1］［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］曾友良，贠朝栋.范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示［J］.当代教育理论与实践，2017（5）：12-16.