研发微专题课例，引导学生关注“等周问题”

摘 要：“等周问题”是经典数学问题，有些地区的中考把关题也常常出现“等周问题”的影子.以“等周问题”为背景，研发微专题拓展课程，在做好必要铺垫问题的启发、暗示之后，出示有挑战的“等周问题”，引导资优学生关注和理解一些简单的“等周问题”，有利于学生开拓视野，激发他们进入高中之后借助更多数学工具深入研究“等周问题”的学习兴趣.

关键词：等周问题；微专题教学；经典问题；铺垫问题

孙志东老师曾对一道中考试题进行了深度研究，在给出一题多解之后，还揭示出该考题的深层结构“等周问题”中的一个简单情形.［1］由此，笔者想到蔡宗熹先生的著作《等周问题》［2］，该书对“等周问题”给出一系列详细的解析与拓展，其中有些特例问题可作为初中阶段拓展课程的素材，“走向一般”的系列“等周问题”又是高中阶段的拓展课程内容.基于以上理解，笔者在近期给九年级资优生开设拓展课程时，以“等周问题”为背景，研发出一节专题拓展课.开课之后，取得较好的教学效果，本文梳理该课教学设计，旨在为教学研究提供参考.

1 “等周问题”微专题教学设计

教学环节1：基础热身，解决“铺垫问题”.

问题1 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC.

（1）求证：∠B＝∠C.

（2）过点A作AM∥BC，在AM上找一点A′（点A′不与点A重合），连接A′B，A′C（如图2），判断△A′BC与△ABC周长的大小.

教学预设：第（1）问是“等边对等角”性质定理的复习.第（2）问可先让学生独立思考，如果有困难，可提示从轴对称的角度进行转化.如图3所示，作点C关于直线AM的对称点C′，连接C′A′，C′C，BC′，可证出A在BC′上.于是A′C′＋A′Bgt;BC′＝AC′＋AB＝AB＋AC，即△A′BC的周长大于△ABC的周长.通过第（2）问的求解和教师的引导，学生归纳出一个重要结论：面积与一边长给定的三角形（△ABC与△A′BC的面积相等，有一条公共边），另外两边相等时该三角形周长最小.

教学环节2：变式改编，探究“一题多解”.

问题2 如图4所示，正方形ABCD内接于⊙O，线段EF在对角线AC上运动，若⊙O的面积为2π，EF＝1，求△DEF周长的最小值.

思路1：如图5所示，连接BD，过点D作⊙O的切线DM，作点E关于直线DM的对称点E′，连接E′F，DE′，可以发现DE＋DF＝DE′＋DF≥E′F，适当平移E′F，使E′F经过点D时（如图6），就取得了DE＋DF的最小值3（直角三角形E′FE，运用勾股定理计算可得），相应的△DEF周长最小值为4.

思路2（可以看作是“思路1”的改进与简化）：如图7所示，过点B作BG⊥BD，截取BG＝EF＝1，连接GD交AC于点E，则点E的位置得到确定（相应的点F的位置也确定），此时在直角三角形BDG中，运用勾股定理计算出DG的长，即DE＋DF的最小值3，相应的△DEF周长最小值为4.

思路3：分离出图8，设OF＝x，OE＝1－x，分别用含x的式子表示DE＋DF＝（1－x）2＋2＋x2＋2，改写一下DE＋DF＝（x-1）2+（2-0）2+（x-0）2+（2-0）2，从“形”的角度看，构造图9进行分析，在平面直角坐标系中，点P（1，0），点Q在直线y＝2上，求OQ＋PQ的最小值，结合轴对称性质（有人称其为“将军饮马”模型），可得点Q坐标12，2.此时，求得OQ＋PQ的最小值为PO′的长3，即DE＋DF的最小值为3.

教学环节3：拓展思考，挑战“等周问题”.

问题3 求证：周长与一条边长给定的三角形，当另外两条边长相等时，面积最大.

教学预设：可以回到问题1的图形，在图3的基础上，得A′B＋A′C＞AB＋AC.

如图10所示，设点D在线段A′C上（点D不与端点A′，C重合），连接BD，BD＋CD＝AB＋AC时，明显△BCD的面积小于△A′BC面积，同时小于△ABC面积.反过来，也直观说明周长以及一条边长给定的三角形（△BCD与△ABC周长相等，且有一条公共边BC），当另外两条边长相等（AB＝AC）时面积最大.

以下再预设一种“算”的证明思路.设该三角形的周长为2p（p为常数），一条边长为a（a为常数）.则另外两边长分别为x，2p－a－x.根据海伦公式，三角形面积S＝p（p－a）（p－x）（x＋a－p），只要考虑根号内含变量x的式子（p－x）（x＋a－p），运用二次函数配方法，可得当x＝2p－a2时，式子取得最大值，相应的三角形面积S取得最大值.此时三角形另外两边都为2p－a2，即等腰三角形时，三角形面积S取得最大值.上面所运用三角形的面积公式（海伦公式），也可解决“在周长给定的三角形中，等边三角形的面积最大”这一命题，由于推理演算过程中需要使用高中“三元均值不等式”，这里不作拓展.

教学环节4：课堂小结，布置同类作业.

小结问题1：本课从等腰三角形出发，从不同角度研究了一些较难问题，你对哪道较难问题印象较深？举例说说.

小结问题2：本课中探究的三角形问题都有一条给定的边长，先是给出三角形面积一定时求周长的最小值，接着逆向思考三角形周长一定时，求面积的最大值.你觉得两类问题之间有怎样的联系，又有什么不同吗？

2 关于微专题课例研发的初步思考

2.1 微专题课例要优选“经典问题”

近年来，微专题教学得到一些教师的关注和实践.其中不少微专题主要关注的是中考热点题型或解题策略.笔者以为，微专题课例的研发，应该更加关注“经典问题”以及“好的问题”，这些问题常常具有“简单而高深”的特点，也能体现“数学的美”.中国科学院席南华院士关于“数学的美”就曾指出，数学的美，从形式上看有“清晰，简洁，简单，原创，新颖，优美”等特点；从内涵上看有“深刻，重要，基本，蕴意丰富”等特点.［3］上文关注的“等周问题”就属于“经典问题”和“好的问题”，无论从形式上还是从内涵上都体现着数学的美.

2.2 微专题教学要预设“铺垫问题”

微专题教学一般都聚焦主线，由易到难，渐次展开.在课堂前半段要重视基础问题的回顾与复习，不要急于出示较难题或有挑战的问题.对一些基础问题进行初步变式或改编之后，也要留足学生思考和探究的时间，这些问题还应重视“一题多解”的课堂交流与展示，一方面是带领学生从不同角度解决问题，另一方面是“等待”更多学生理解“铺垫问题”的解法思路与深层结构，为后续较难题的攻克提供必要的解法暗示.在上文课例中，在出示“等周问题”之前，安排的问题1、问题2，都可以看成是为学生后续攻克“等周问题”提供的铺垫问题，从课堂教学效果来看，不少学生能从前面的问题中获得必要的思路暗示，从而顺利获得思路.

参考文献

［1］孙志东.一道中考试题的解法探究与推广［J］.数学教学，2023（7）：33-34+50.

［2］蔡宗熹.等周问题［M］.北京：人民教育出版社，1964.

［3］席南华.数学简单与高深［M］.北京：科学出版社，2024.