数位是什么？

摘" 要：为了计数的方便，在十进制下建立了数与数位的一一对应关系，也就是不同的数对应不同的位置，以此更好地用数位来表示数.数与数位这种一一对应关系保证了数运算的唯一性和一致性.用数位来表示数不仅仅要强调其数的位置，更应该强调不同的数位容纳数的差异性和相互之间的关系.在做减法的时候虽然经常用“借一作十”，但是借的“一”仍然在十位上，它没有办法“跑到”个位上去，不过它参与了减法运算；“满十进一”在加法运算中却是发生了数的移动.强调数位概念重要性的同时也应该关注数位之间的关系和数之间的关系．

关键词：进位加法；退位减法；数位；计数器

1" 问题提出

在人教版小学数学教材中，有“20以内的进位加法”［1］和“20以内的退位减法”［2］的内容.相比于“20以内的进位加法”而言，“20以内的退位减法”更有难度.两个整数相减，无论这两个整数是几位数，只要涉及退位减法的时候，计算的依据就是“借一作十”的运算法则，这样就把“20以内的退位减法”转化为10以内的加减法来运算.例如，34556－25112，从个位数开始计算，前三位数都够减的，但是第四位数就需要“借一作十”，从万位上借来1作千位上的10，加上原来千位上的4，这就是14，用14减5就是9.但是更为简单的算法应该是用借来的10先减去5，然后再加4等于9，这样做的好处是转化为了10以内的加减法而不是20以内的加、减法，从而使小学生更容易理解.在“20以内的进位加法”中9＋2=11为什么两个个位数相加要进位？十进制重要性质之一就是“满十进一”.9＋2在运算中由于超过了十，所以需要进一.为了更好地理解“满十进一”，就需要教师引导学生沿着数位是什么这条主线开始研究.本文探讨“20以内的退位减法”中的“借一作十”和“20以内的进位加法”中的“满十进一”产生根源，从数位的视角进行分析．

2" 关于“满十进一”和“借一作十”的阐释

2.1" 满十进一：数位容纳数的个数是有限的

数位是一个比较抽象且难于理解的数学概念，如果将其理解为数的位置就有点肤浅.计数器是计数的容器，可以利用“计数器”来更好地表示数和理解数位.数位是抽象的，计数器是具体的，数位是通过计算器来展示出来的.计数器上有不同的数位，如有个位、十位、百位、千位、万位等.数位就是若干个大小不同的“大箱子”组成的容器，这个容器里面盛的不是山珍海味和锦衣玉食，而是数.数位难以理解的部分之一是为什么要进位？不进位行吗？任何容器里面的空间都是有大小的，也是有限的，数位这个容器也是如此.当数位上的数太多超过了它的负荷的时候，就需要进位了，需要从低位进入高位，数就需要由“小箱子”移到“大箱子”里.先探讨个位，个位这个容器最大只能装九个数，如果再来一个数就装不下了，装不下的情况下可以进一，这就是“满十进一”.“进一”的意思是把这十个数装进了一个更大的箱子——也就是进到十位上作“一”去了.当满十进一之后个位数就是0，也就是空了，也有可能像上面的例子9＋2=11，不仅进一，而且进一之后在个位上还剩余1，也就是11这个数分配在两个数位上，一个是个位上分配一个1，十位上分配一个10，只不过在十位上用1来表示，这样任何一个数就可以用不同数位组合起来表示.个位上最大的容量是9这个数，如果再多一个“1”，其结果就不在个位上了，就需要“满十进一”地移到十位上.十位上这个容器比个位上这个容器盛数能力大，但是十位上的数都是以10为单位的，或者说都是10的倍数，不是10的倍数的数是无法放在十位上的.十位上的数用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别来表示0、10、20、30、40、50、60、70、80、90.如果说个位数是一个“零售商”，那么对十位数来讲就是一个“批发商”.十位上不零售数值，十位上的数都是10的倍数.一个数或数的某部分想放在十位上必须是整十的，个位上的数无法放到十位上去的；三位及以上的数也不能放到十位上，即使是整百整千的数也是不能放在十位上的，因为十位上最大的容器只能装90个数.如果十位上数满了就可以转移到百位数上去.15应该怎么表示？15这个数不可能仅仅放在十位上这一个容器中，也不可以全部放在个位上这个容器中，当然更不可能放在更高位上.15这个数必须放在两个容器中，15的“10”放在十位上，用“1”来表示，“5”放在个位上，用“5”来表示，也就是说有整有零的一个两位整数可以用十位和个位共同表示出来.百位数这个容器只能放整百的数，也就是100的倍数，同样在百位上用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别表示0、100、200、300、400、500、600、700、800、900，不够整百的数就不能放在百位上.例如，8这个数就不能放在百位上和十位上，8只能放在个位上.一个数在十进制下它的位置是唯一的，不可能有两个及以上的位置与这个数对应.88这个数也是无法放在百位上，但是88需要放两个位置，一个是个位上放8，另一个是十位上也放8.278要先把整百的2放在百位上，整十的7放在十位上，单个的8放在个位上.同样千以上的数是不能用百位数来表示的，因为百位上这个数位的容器很小，是容纳不下千以上的数或无法表示千以上的数的.同样千位上用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别表示0、1000、2000、3000、4000、5000、6000、7000、8000、9000.个位数与整十、整百的数是没有资格用千位来表示的，而且也是没有办法表示的，但是4000是可以用千位来表示的.4239不仅要用到千位上的“4”，还用到了百位上的“2”、十位上的“3”和个位上的“9”来表示.以上可以看出数位这个容器的大小虽然不同，但是一般都分为十个级别.十位上这个容器盛数最大能力是90个数，而且必须是整十的数；百位上这个容器盛数的最大能力是900个数，而且必须是整百的；千位上这个容器最大盛数能力是9000个数，而且必须是整千的；万位上这个容器的最大盛数能力是90000个数，而且必须是整万整万的.需要强调的是数位上盛数能力是有限的，在计数的时候不能超载.例如，上面的9＋2=11，显然个位这个容器不能装下9＋2之和11，就必须进位，也就是说在计算过程中数位上的数不能超载运行，否则容器就会爆炸或违法“满十进一”的规定.不能超载怎么办？满十进一.也就是说当各位上不够用的时候就要进一把十位用上，如果十位不够用，继续进一，把数放百位上这个更大的容器中.由于数位是很多的，小容器的数位不够用可以用大容积的数位，有亿、十亿、百亿、千亿等，数位这个容器肯定是够用的.计算中满十进一是必需的，满十不进一是不可以的，因为数位这个容器是有限的，满十不进一是没有办法放在个位上的.个位上就不可能表示11、12、13、14、19088、456433等超过9的数.在十进制下个位仅仅是一个位置，不可能表示成两位数.因此，不能认为借一作十之后再加上个位上原先的数一共如果超过10，就可以放在个位上表示10以上的数，这是不可能的.如果这样的话，这种做法与“满十进一”又会产生矛盾．

12－8中被减数的个位数2是不够减减数的个位数8的，需要从十位数借一作十，但是借来的十不能加到个位上，否则根据“满十进一”，又会返回原来的十位上去.个位上这个容器最大能放9个数，再多了就放不下了，就需要往十位上放，也就是进一.十位数的容器最多能放9个整十数，再多就需要进一等等以此类推.数位越少容纳的数越小，数位越多容纳的数越大.在正整数的范围内，一个15位数肯定比一个9位数大.十进制下数位与数建立了一一对应的关系.有一个数，在计数器上或数位上就有唯一的位置与它对应，反之也是成立的.举例来讲，9这个数在个位上就有唯一的位置与它对应，在其他数位中是不能与9这个数对应的.同样45这个数在数位上也是有唯一的位置与此对应的，只不过这个位置是一个复合位置，但是仍然是唯一的位置，这个位置是十位上的4与个位上的5的组合位置.同样数位上任何一个位置都表示唯一的一个数.例如，百位上的3表示三百，十位上的4表示四十，个位上的5表示五，这个组合位置就表示一个唯一的数，这个数就是345.这种数与数位的对应关系从本质上讲，也是数与形对应关系的重要体现.人类用数位表示数就是建立在数与数位的一一对应关系基础上的，只有这种一一对应关系才能保证数运算结果的唯一性和无矛盾性，这种数与数位一一对应的关系显然是很重要的．

2.2" 借一作十：一个数的十位数不能放在个位上

13－8=5，个位上的3不够减8，需要从十位上借一作十，但是这个借的一其实并没有拿到个上去，而且也拿不到，最多拿到个位上的数只能是6，为什么这样讲？因为个位最多只能放9个数，而且现在个位上已经有3个数了，最多还只能放6个数，个位数就不能再放了，如果再放就要“满十进一”了，而且“满十进一”之后数又跑到十位上了.更重要的问题是十位上的1，也就是10拆分成了一个6放在个位上，剩下的那个4就不能留在十位上了.因为那个4表示4个1，在十位上的4表示4个10.因此，4个1是无法放在十位上的，还要放回到个位上去，这样就必须回到原来的状态或者说此路行不通.“借一作十”一般体现在减法运算中，只不过减的时候，主要不是个位数减个位数，而是被减数的个位数和十位数共同减减数的个位数，这里的“共同”其实是分两种情况的：一种是被减数的个位数加上十位数得到数减去减数的个位数；另一种情况是十位上的一作为十直接减去减数的个位数再加上被减数的个位数.例如，甲（3）与乙（8）打架，甲打不过乙（3不够减8），于是求助于十位数上的丙（10）来帮忙，这样就形成了两（甲与丙）打一（乙）的局面.在甲与丙联合打乙中，丙与甲各自在各自的位置上进行打一的.虽然是借一作十，但是十位上的一是没有跑到个位上去的，因为个位这个容器装不下它.丙（10）虽然在十位上仍然参与甲与乙打架.在这种情况下，就不能说是个位数减个位数，因为十位数也参与了运算.如果个位数够减的，十位数就没有必要参与.例如，16－5在这种情况下十位上的数就不需要介入或参与个位数减个位数的运算.只有在个位数不够减的时候，十位数才参与帮助个位数解决问题，但是仍然在自己的位置上发生战斗.在13－8中为了简便运算，一般情况下转化为10－8＋3，直接用十位上的1也就是10来减去8然后再加上3，这种运算就是把20以内的退位减法转化为10以内的加、减法运算.在这种简便运算中，起作用的不是个位数，是十位上的1也就是10减去个位上的8，这个可能是最重要的战场，具体到后来再加个位数3，那个是一件容易的事——仅仅是10以内的加法运算.例如，一个小学生有16元钱，一张10元的，三张2元的，去超市买东西，这个东西标价是8元钱.这个小学生知道三张2元的一共才6元钱，是不够买那个8元钱的东西，于是他就直接拿10元的给卖主，不会把16元钱全部给卖主，否则的话卖主会先把小学生的三张2元的钱币退回去，仅仅收下10元的，并找回2元钱.事实上，这个小学生的思维过程就给刚才的例子是一样的，都是个位上的数不够减，虽然是借一作十，但是最终还是用十位上的一也就是小学生一张10元的人民币解决问题的，那个6元钱就没有参与买卖，但是当问这个小学生买过东西之后一共还剩下多少钱的时候？其余的6元钱才起作用.“满十进一”的确是进一，把个位上的数字相加之后满十的部分要移动到十位上作为一，“借一作十”就虚假了，虽然借了一，但是十位上的数还是十位数的数，个位上的数还是个位上的数，只不过十位上的数参与了运算而已.

3" 结语

数位这个数学概念在小学阶段似乎是“长”在计数器上的，但是事实上不是.数位是形而上的抽象的“道”，计数器仅仅是具体的形而下的“器”.数位的概念在教学中不仅要强调位置，更要强调其容器的作用，而且后者的作用才可能真正触及数位的本质，才是帮助小学生理解“满十进一”和“借一作十”的一把钥匙.任何一个整数都可以用数位上的数字表示出来的.在教学中要强调数位与数的一一对应关系，任何一个数位都表示一个唯一的数，同样任何一个数都存在唯一的数位与此对应.事实上，当人们说一个数的时候，这个数的数位就蕴含其中的，当给出不同数位的数字组合时，同样能够知道这个数是多少.“20以内的退位减法”和“20以内的进位加法”虽然在教材中没有强调数位的重要性，但是强调了“借一作十”和“满十进一”的重要性，更应该从数位的观点来理解“借一作十”和“满十进一”.还需要强调的是，虽然数位的概念很重要，但是各个不同数位之间的关系可能是更重要的.这就像德国数学家希尔伯特（D. Hilbert）在谈到几何公理化体系的时候，用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面一样，强调的是元素之间关系的重要性.［3］

参考文献

［1］人民教育出版社课程教材研究所，小学数学教材编委会.义务教育教科书数学一年级上册［M］.北京：人民教育出版社，2022．

［2］人民教育出版社课程教材研究所，小学数学教材编委会.义务教育教科书数学一年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2022．

［3］希尔伯特.希尔伯特几何基础［M］.北京：北京大学出版社，2009．